For the equation d^2 yd t^2+K d yd t+4 y=u
Find the transfer function and put it in standard gain/time constant form.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos a equação
d^2ydt^2 + Kdydt + 4y = u
e queremos achar a função de transferência e depois pôr na forma padrão de ganho e constantes de tempo.”
Isso é matéria de Transformada de Laplace e análise de sistemas lineares. Vamos usar Laplace (assumindo condições iniciais nulas: e ), isolar e depois escrever o denominador como .

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo:
  • s^2Y(s) + K,sY(s) + 4,Y(s) ;=; U(s)
  • G(s) ;=;Y(s)U(s) ;=;1s^2 + K,s + 4
Logo a equação vira
Isolando a função de transferência:

Passo 3

Para entrar na forma padrão de ganho/constantes de tempo, a gente quer
G(s) ;=; K0(1 + T1 s),(1 + T2 s)
Primeiro fatoramos o 4 do denominador:
s^2 + K,s + 4 ;=;4l(s^24 + K4s + 1r) =4l(1 + tfracK4s + tfrac14s^2r)
Então
G(s) =1s^2 + Ks +4 =14,11 + tfracK4s + tfrac14s^2
Se expandíssemos T1 + T2 = K4, T1,T2 = 14, K0 = 14 , dá pra identificar:

Passo 4

Agora, para achar T1,2 =tfracK4,pm,raizl(tfracK4r)^2 - 12 e , usamos a fórmula de Bhaskara no polinômio
.
Então

Resposta

boxed G(s) ;=;Y(s)U(s) =1s^2 + K,s + 4 =1/4(1 + T1 s),(1 + T2 s),
com
K0 = tfrac14, T1,2 = tfracK4,pm,raizl(tfracK4r)^2 - 12

Exercícios relacionados