Em que é o vetor de entrada manipulada e p é uma constante.
Passo 1
Beleza, olha só o que a gente tem: um sistema não‐linear com três estados
e a tarefa é “linearizar” isso em torno de um ponto de equilíbrio , depois escrever o modelo em variáveis de desvio , .
Conteúdo chave: linearização de sistemas não‐lineares via expansão de Taylor em primeiro ordem, cálculo de matrizes Jacobianas e . Não se assusta: a gente vai fazer tudo passo a passo!
Passo 2
Teoria rápida: para um sistema de, a linearização em A ;=;partial fpartial x|(xss,uss), B ;=;partial fpartial u|(xss,uss) é
onde
Vamos calcular cada derivada parcial:
Para : (não depende de ), .
Para :
,
,
,
,
,
.
Para :
,
,
,
,
,
.
Agora é só avaliar tudo isso em .
Passo 3
Montando as matrizes A = 0 & 0 & 0[6pt] -dfracu1,ssx1,ss^2(u3,ss-x2,ss) & -dfracu1,ssx1,ss - p1 & 0[8pt] dfracu1,ssx1,ss^2,x3,ss & p1 & -dfracu1,ssx1,ss , B = 1 & -1 & 0[6pt] dfracu3,ss-x2,ssx1,ss & 0 & dfracu1,ssx1,ss[8pt] -dfracx3,ssx1,ss & 0 & 0 (3×3) e boxed;de (3×3), com todas as derivadas avaliadas em :
Então, em variáveis de desvio , , o modelo linearizado fica: