Apresente o modelo linearizado em ( xss, uss) e em desvio.
Em que & dotx1=d x1 / d t=u1-u2=f1(x, u, p) & dotx2=d x2 / d t=u1x1(u3-x2)-p1 x2=f2(x, u, p) & dotx3=d x3 / d t=-u1x1 x3+p1 x2=f3(x, u, p) é o vetor de entrada manipulada e p é uma constante.

Passo 1

Beleza, olha só o que a gente tem: um sistema não‐linear com três estados
dot x1 = u1 - u2, dot x2 = dfracu1x1,(u3 - x2);-;p1,x2, dot x3 = -dfracu1x1,x3;+;p1,x2,
e a tarefa é “linearizar” isso em torno de um ponto de equilíbrio , depois escrever o modelo em variáveis de desvio , .
Conteúdo chave: linearização de sistemas não‐lineares via expansão de Taylor em primeiro ordem, cálculo de matrizes Jacobianas e . Não se assusta: a gente vai fazer tudo passo a passo!

Passo 2

Teoria rápida: para um sistema de, a linearização em A ;=;partial fpartial x|(xss,uss), B ;=;partial fpartial u|(xss,uss) é
onde
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Para :
    (não depende de ),
    .
  2. Para
    :
    • ,
    • ,
    • ,
    • ,
    • ,
    • .
  3. Para
    :
    • ,
    • ,
    • ,
    • ,
    • ,
    • .
Agora é só avaliar tudo isso em .

Passo 3

Montando as matrizes A = 0 & 0 & 0[6pt] -dfracu1,ssx1,ss^2(u3,ss-x2,ss) & -dfracu1,ssx1,ss - p1 & 0[8pt] dfracu1,ssx1,ss^2,x3,ss & p1 & -dfracu1,ssx1,ss , B = 1 & -1 & 0[6pt] dfracu3,ss-x2,ssx1,ss & 0 & dfracu1,ssx1,ss[8pt] -dfracx3,ssx1,ss & 0 & 0 (3×3) e boxed;de (3×3), com todas as derivadas avaliadas em :
Então, em variáveis de desvio , , o modelo linearizado fica:

Resposta

O modelo linearizado em de e em desvio é
Pronto, é só isso!

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