3.12 The differential equation model for a particular chemical process has been found by testing to be as follows:
where and are constant parameters and is the input function of time.
What are the functions of time (e.g., ) in the solution for each output for the following cases? (Optional: Find the solutions for .)
Passo 1
Beleza, aqui o exercício nos dá uma EDO de segunda ordem, linear e de coeficientes constantes:
com e nos pede em quais “funções de tempo” (tipo , etc.) aparece a solução .
Conteúdo: equação diferencial linear de 2º ordem, solução homogênea + particular.
O que vamos precisar:
Característica da parte homogênea (raízes e ).
Um chute de solução particular do tipo (porque o forçante é exponencial).
Princípio da superposição.
Passo 2
Primeiro a parte homogênea, ou seja, definimos
A gente monta a equação característica em :
Isso gera a solução homogênea
Passo 3
Agora a parte particular. Como o lado direito é , chutamos
Derivando e colocando na EDO, obtemos uma equação em só:
Ou seja,
Passo 4
Pelo princípio da superposição, a solução geral é
Aqui os termos “funções de tempo” que aparecem são
e^-t/tau1, e^-t/tau2, e^-,tfracftau,t
Resposta
As funções de tempo que compõem a solução são
boxede^-t/tau1, e^-t/tau2, e^-,tfracftau,t
(E, se quiser o completo com CI zero, basta impor e para achar e .)