3.12 The differential equation model for a particular chemical process has been found by testing to be as follows:
tau1 tau2 d^2 yd t^2+(tau1+tau2) d yd t+y=K u(t)
where tau1 and tau2 are constant parameters and u(t) is the input function of time.
What are the functions of time (e.g., e^-t) in the solution for each output y(t) for the following cases? (Optional: Find the solutions for y(t).)
u(t)=b e^-f / tau tau neq tau1 neq tau2

Passo 1

Beleza, aqui o exercício nos dá uma EDO de segunda ordem, linear e de coeficientes constantes:
tau1,tau2,d^2ydt^2 ;+;(tau1+tau2),dydt ;+;y ;=; K,u(t)
com e nos pede em quais “funções de tempo” (tipo , etc.) aparece a solução .
Conteúdo: equação diferencial linear de 2º ordem, solução homogênea + particular.
O que vamos precisar:
  1. Característica da parte homogênea (raízes e ).
  2. Um chute de solução particular do tipo (porque o forçante é exponencial).
  3. Princípio da superposição.

Passo 2

Primeiro a parte homogênea, ou seja, definimos
tau1tau2,y'' +(tau1+tau2),y' + y = 0
A gente monta a equação característica em tau1tau2,s^2+(tau1+tau2),s+1=0 ;Longrightarrow; s1=-1tau1, s2=-1tau2 :
yh(t)=A,e^-t/tau1 ;+; B,e^-t/tau2
Isso gera a solução homogênea

Passo 3

Agora a parte particular. Como o lado direito é yp(t)=C;e^-,tfracftaut , chutamos
tau1tau2l(-tfracftaur)^2C +(tau1+tau2)l(-tfracftaur)C +1cdot C =K,b
Derivando e colocando na EDO, obtemos uma equação em C =K,b tau1tau2l(tfracftaur)^2 +(tau1+tau2)l(tfracftaur) +1, só:
Ou seja,

Passo 4

Pelo princípio da superposição, a solução geral é
y(t)=A,e^-t/tau1 ;+; B,e^-t/tau2 ;+; underbraceK,b tau1tau2(tfracftau)^2 +(tau1+tau2)(tfracftau) +1C ;e^-,tfracftau,t
Aqui os termos “funções de tempo” que aparecem são
e^-t/tau1, e^-t/tau2, e^-,tfracftau,t

Resposta

As funções de tempo que compõem a solução são
boxede^-t/tau1, e^-t/tau2, e^-,tfracftau,t
(E, se quiser o completo com CI zero, basta impor e para achar e .)

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