Beleza, o enunciado diz que a gente tem um reator onde a concentração satisfaz
com
Conteúdo: achar ponto de equilíbrio (estado estacionário), linearizar em torno dele (séries de Taylor), calcular resposta ao degrau e esboçar. Vamos precisar de:
resolver dC/dt=0 (equilíbrio),
derivadas parciais para linearização,
fórmula de ganho e constante de tempo de sistema de 1a ordem.
Passo 2
Achar o estado estacionário . Como , impomos
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Descartamos a raiz negativa e ficamos com
Passo 3
Linearização via Taylor em torno de . Definimos
Da função
calculamos as derivadas no ponto de trabalho:
Logo o modelo linear em pequenas variações é
Passo 4
Steady‐state (estado estacionário) de saída:
Modelo não‐linear: já achamos .
Modelo linearizado: para (nenhuma variação de entrada) o equilíbrio é , ou seja .
Nos dois casos dá a mesma coisa quando .
Passo 5
Resposta a um degrau em c(t) = K,ul(1-e^-t/taur) approx0.2984cdot0.5l(1-e^-t/1.49r)approx0.1492l(1-e^-t/1.49r) de 1.25 para 1.75:
Variação de entrada C(t)=C^*+c(t)=0.735 + 0.1492l(1-e^-t/1.49r), .
Ganho estático do linear: .
Constante de tempo: .
Então o desvio de concentração é
A saída total fica
uma curva exponencial de 0.735 até 0.884.
Resposta
a) Modelo linearizado em torno do equilíbrio:
boxeddot c = -0.6704,c + 0.2,u
b) Concentração de saída em regime permanente ( boxedC^* = 0.735;lbmol/ft^3 (idem nos modelos nãolinear e linearizado) ):
boxedC(t)=0.735 + 0.1492,(1-e^-t/1.49) ã‐
c) Para um degrau :
– esboço: curva exponencial de 0.735 subindo até 0.884 com constante de tempo ~1.49 min.