Seja o modelo de um reator dado por:
d Cd t=FV Ci-FV C-k2 C^2
Sabe-se que:
VF=5 min k2=0.32 ft^3 lbmol^-1 min^-1
C is =1.25 lbmol ft^-3
Determine:
(a) Modelo linearizado em torno do estado estacionário;
(b) Concentração de saída no estado estacionário pelo modelo linearizado e pelo não linear.
© Faça um esquema do comportamento da solução dinâmica quando o sistema sofre uma perturbação de 1.25 lbmol ft^-3 para 1.75 lbmol ft^-3 na concentração de entrada.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um reator onde a concentração dCdt = FV,Ci ;-;FV,C ;-;k2,C^2 satisfaz
VF=5minRightarrowFV=0.2min^-1, k2=0.32;ft^3/(lbmol,min), Ci=1.25;lbmol/ft^3
com
Conteúdo: achar ponto de equilíbrio (estado estacionário), linearizar em torno dele (séries de Taylor), calcular resposta ao degrau e esboçar. Vamos precisar de:
  1. resolver dC/dt=0 (equilíbrio),
  2. derivadas parciais para linearização,
  3. fórmula de ganho e constante de tempo de sistema de 1a ordem.

Passo 2

Achar o estado estacionário 0 = 0.2cdot1.25 ;-;0.2,C^* ;-;0.32,(C^*)^2 ;Longrightarrow; 0.32,(C^*)^2 ;+;0.2,C^* ;-;0.25=0 . Como C^* = -0.2 pm raiz0.2^2 +4cdot0.32cdot0.252cdot0.32 = -0.2 pm raiz0.04+0.320.64 = -0.2 pm0.67050.64 , impomos
C^* approx -0.2 +0.67050.64approx0.735;lbmol/ft^3
Aplicando a fórmula de Bháskara:
Descartamos a raiz negativa e ficamos com

Passo 3

Linearização via Taylor em torno de c = C-C^*, u = Ci - Ci^* . Definimos
f(C,Ci)=0.2,Ci -0.2,C -0.32,C^2,
Da função
partial fpartial C|* = -0.2 -2cdot0.32cdot0.735 = -0.2 -0.4704 = -0.6704, partial fpartial Ci|* = 0.2
calculamos as derivadas no ponto de trabalho:
dot c = -0.6704,c ;+;0.2,u
Logo o modelo linear em pequenas variações é

Passo 4

Steady‐state (estado estacionário) de saída:
  • Modelo não‐linear: já achamos .
  • Modelo linearizado: para (nenhuma variação de entrada) o equilíbrio é , ou seja .
    Nos dois casos dá a mesma coisa quando .

Passo 5

Resposta a um degrau em c(t) = K,ul(1-e^-t/taur) approx0.2984cdot0.5l(1-e^-t/1.49r)approx0.1492l(1-e^-t/1.49r) de 1.25 para 1.75:
  • Variação de entrada C(t)=C^*+c(t)=0.735 + 0.1492l(1-e^-t/1.49r), .
  • Ganho estático do linear: .
  • Constante de tempo: .
    Então o desvio de concentração é
A saída total fica
uma curva exponencial de 0.735 até 0.884.

Resposta

a) Modelo linearizado em torno do equilíbrio:
boxeddot c = -0.6704,c + 0.2,u
b) Concentração de saída em regime permanente ( boxedC^* = 0.735;lbmol/ft^3 (idem nos modelos nãolinear e linearizado) ):
boxedC(t)=0.735 + 0.1492,(1-e^-t/1.49) ã
c) Para um degrau :
– esboço: curva exponencial de 0.735 subindo até 0.884 com constante de tempo ~1.49 min.

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