A process has been modeled and Laplace transformed to obtain the following two equations:
where the outputs are (taua s+1) Y1(s) & =K1 U1(s)+Kb Y2(s) (taub s+1) Y2(s) & =K2 U2(s)+Y1(s) and Y1, and the inputs are Y2 and U1.
Find the transfer functions
U2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado dá duas equações já no domínio de Laplace:
(taua s +1),Y1(s) = K1,U1(s) ;+; Kb,Y2(s) (taub s +1),Y2(s) = K2,U2(s) ;+; Y1(s)
O que a gente quer é achar as funções de transferência de Y1(s)U1(s) e Y2(s)U1(s) para os dois sinais de saída, ou seja
Conteúdo: álgebra de funções de transferência no domínio de Laplace e bloqueios em série/paralelo. O que vamos precisar: isolar e em função de (e assumir já que não estamos analisando esse segundo input).

Passo 2

Primeiro, imagine que estamos perturbando só (taua s +1),Y1 &= K1,U1 + Kb,Y2, (taub s +1),Y2 &= 0 + Y1 = Y1 , então zeramos . Isso é padrão quando pedem “ ”. Aí as equações viram:

Passo 3

Vamos usar a segunda equação para expressar (taub s +1),Y2 = Y1 Longrightarrow Y2 = Y1taub s +1 em função de . Ela diz:
Isso é só isolar dividindo ambos os lados por .

Passo 4

Agora plugamos esse (taua s +1),Y1 = K1,U1 + Kb,Y2 na primeira equação. A original era
(taua s +1),Y1 = K1,U1 + Kb,Y1taub s+1
Substituindo (taua s+1)(taub s+1),Y1 = K1(taub s+1),U1 ;+; Kb,Y1 , fica
l[(taua s+1)(taub s+1)-Kbr],Y1 = K1(taub s+1),U1
Para juntar tudo, multiplica os dois lados por Y1 = K1(taub s+1)(taua s+1)(taub s+1)-Kb;U1 :
Y1(s)U1(s) = K1(taub s+1)(taua s+1)(taub s+1)-Kb
Agora trazemos o termo em do lado direito pro lado esquerdo:
Isso isola :
Logo a função de transferência para é

Passo 5

Para achar Y2(s)U1(s) = 1taub s+1,Y1(s)U1(s) = 1taub s+1;K1(taub s+1)(taua s+1)(taub s+1)-Kb = K1(taua s+1)(taub s+1)-Kb , basta usar . Então:

Resposta

boxed Y1(s)U1(s) = K1,(taub s+1)(taua s+1)(taub s+1);-;Kb, Y2(s)U1(s) = K1(taua s+1)(taub s+1);-;Kb

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