Considere o sistema com função de transferência,
. Descreva quais são os polos, zeros, atraso, ordem do sistema (inclusive a ordem relativa), comportamento esperado para uma perturbação na entrada, estabilidade, tem resposta inversa?
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente analisar o sistema
e dizer quais são os polos, zeros, atraso, ordem (e ordem relativa), o que rola se tiver uma perturbação na entrada, se o sistema é estável e se ele tem resposta inversa.
Pra isso vamos usar teoria básica de sistemas LTI: zeros = raízes do numerador, polos = raízes do denominador, atraso puro vem do , ordem = grau do denominador, ordem relativa = grau do denom. menos grau do num., estabilidade depende da posição dos polos no plano
, e zero no semiplano direito dá resposta inicial “invertida”.
Pra isso vamos usar teoria básica de sistemas LTI: zeros = raízes do numerador, polos = raízes do denominador, atraso puro vem do
Passo 2
Encontrar zeros e polos:
– Numerador ⇒ zero em
– Numerador
– Denominador
⇒ polos em
Explicando: zero é onde a saída zera mesmo se a entrada não for zero; polo é onde a resposta “explode” se a entrada tiver aquela frequência.
Passo 3
Atraso puro: o fator
indica que toda a resposta do sistema leva 2 segundos para começar. Em outras palavras, nada acontece antes de
.
Passo 4
Ordem do sistema: é o grau do polinômio do denominador (sem contar o atraso), aqui é
Ordem relativa: grau do denominador (3) menos grau do numerador (1) =
Passo 5
Estabilidade: um LTI causal é estável se todos os polos estiverem no semiplano esquerdo (
). Aqui um polo está em
, então o sistema é instável. Qualquer perturbação na entrada vai gerar um termo que cresce como
, ou seja, diverge.
Passo 6
Comportamento frente a perturbação e resposta inversa:
– O polo em faz a saída crescer exponencialmente (não se estabiliza).
– O zero em (que está no semiplano direito) faz com que a resposta inicial à perturbação seja invertida (vai primeiro pro lado oposto do valor final). Isso é a tal “resposta inversa”.
– O polo em
– O zero em
Resposta
Polos:
Zero:
Atraso: 2 s (de )
Ordem: 3
Ordem relativa: 2
Estabilidade: instável (polo em )
Comportamento p/ perturbação: diverge como e inicia invertido
Resposta inversa: sim (zero em RHP)
Zero:
Atraso: 2 s (de
Ordem: 3
Ordem relativa: 2
Estabilidade: instável (polo em
Comportamento p/ perturbação: diverge como
Resposta inversa: sim (zero em RHP)