3.12 The differential equation model for a particular chemical process has been found by testing to be as follows:
tau1 tau2 d^2 yd t^2+(tau1+tau2) d yd t+y=K u(t)
where tau1 and tau2 are constant parameters and u(t) is the input function of time.
What are the functions of time (e.g., e^-t) in the solution for each output y(t) for the following cases? (Optional: Find the solutions for y(t).)
u(t)=d sin omega t tau1 nRightarrow tau2

Passo 1

Então, temos uma EDO de 2º ordem que modela um processo químico:
tau1tau2,d^2 ydt^2 + (tau1+tau2),dydt + y = K,u(t)
com e .
Conteúdo: solução de EDOs lineares de 2ª ordem com entrada senoidal.
O que vamos precisar:
  • encontrar a solução homogênea (raízes da equação característica),
  • montar uma solução particular do tipo ,
  • identificar as funções de tempo que aparecem.

Passo 2

Solução homogênea y_h:
  1. Equação característica:
tau1tau2,s^2 + (tau1+tau2),s + 1 = 0
  1. Como s1 = -1tau1, s2 = -1tau2 , as raízes são
yh(t) = C1,e^-t/tau1 + C2,e^-t/tau2
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Passo 3

Solução particular y_p: suponho
yp(t) = Asinomega t + Bcosomega t
Derivando:
yp' = Aomegacosomega t ;-; Bomegasinomega t, yp'' = -Aomega^2sinomega t ;-; Bomega^2cosomega t
Substituindo na EDO e agrupando termos em A = K,d,(1-tau1tau2omega^2)(1+tau1^2omega^2)(1+tau2^2omega^2), B = -,K,d,(tau1+tau2),omega(1+tau1^2omega^2)(1+tau2^2omega^2) e yp(t) = Asinomega t + Bcosomega t , obtemos um sistema para e . A conta dá (opcional provar):
Portanto

Passo 4

Juntando tudo, a solução geral é
y(t) = C1,e^-t/tau1 + C2,e^-t/tau2 ;+; Asinomega t + Bcosomega t
As funções de tempo que aparecem são, então:
  • exponenciais e (resposta transitória),
  • termos senoidais e (resposta em regime).

Resposta

As funções de tempo na solução são
e^-t/tau1, e^-t/tau2, sin(omega t)ecos(omega t)

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