3.12 The differential equation model for a particular chemical process has been found by testing to be as follows:
where
and
are constant parameters and
is the input function of time.
What are the functions of time (e.g.,
) in the solution for each output
for the following cases? (Optional: Find the solutions for
.)
What are the functions of time (e.g.,
Passo 1
Então, temos uma EDO de 2º ordem que modela um processo químico:
com
e
.
Conteúdo: solução de EDOs lineares de 2ª ordem com entrada senoidal.
O que vamos precisar:
Conteúdo: solução de EDOs lineares de 2ª ordem com entrada senoidal.
O que vamos precisar:
- encontrar a solução homogênea (raízes da equação característica),
- montar uma solução particular do tipo
, - identificar as funções de tempo que aparecem.
Passo 2
Solução homogênea y_h:
- Equação característica:
- Como
, as raízes são
Logo
Passo 3
Solução particular y_p: suponho
Derivando:
Substituindo na EDO e agrupando termos em
e
, obtemos um sistema para
e
. A conta dá (opcional provar):
Portanto
Passo 4
Juntando tudo, a solução geral é
As funções de tempo que aparecem são, então:
- exponenciais
e (resposta transitória), - termos senoidais
e (resposta em regime).
Resposta
As funções de tempo na solução são