P.8-12 The magnetic field intensity of a linearly polarized uniform plane wave propagating in the
-direction in seawater
is
at
.
a) Determine the attenuation constant, the phase constant, the intrinsic impedance, the phase velocity, the wavelength, and the skin depth.
b) Find the location at which the amplitude of
is
.
c) Write the expressions for
and
at
as functions of
.
a) Determine the attenuation constant, the phase constant, the intrinsic impedance, the phase velocity, the wavelength, and the skin depth.
b) Find the location at which the amplitude of
c) Write the expressions for
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dados do meio (água do mar):
, , . - Campo magnético no plano
: - Perguntas:
a) Determinar(constante de atenuação), (constante de fase), impedância intrínseca , velocidade de fase , comprimento de onda e profundidade de penetração (skin depth) .
b) Encontrar a posiçãoem que a amplitude de é .
c) Escrevere em como funções de .
Passo 2
Identificações e constantes físicas que vamos usar (sempre na forma matemática):
Agora substituímos
e
. Para cálculo numérico usarei
e
.
- Calculemos
e :
Passo 3
Fórmulas gerais para um meio condutor (permeabilidade real, permitividade real, condutividade
):
Para uma onda plana em um meio com perdas, a constante de propagação
pode ser obtida por
Expliquei: a expressão vem da raiz quadrada complexa
. Ao separar parte real e imaginária e simplificar obtemos as fórmulas para
e
acima. As quantidades significam:
-
: frequência angular (rad/s), -
: permeabilidade (H/m), -
: permitividade (F/m), -
: condutividade (S/m).
Passo 4
Calculemos os termos intermediários numéricos:
- Primeiro
: -
: - Razão
: - Produto
: - Fator
:
(Expliquei: calculei
e multipliquei por
.)
Passo 5
Agora aplicamos as fórmulas para
e
.
- Calcule
- Então
Interpretação rápida:
grande significa que o campo decai rapidamente com
;
dá a variação de fase por metro.
Passo 6
Impedância intrínseca
do meio condutor (número complexo). Fórmula geral:
Vou calcular numericamente em forma de módulo e ângulo (magnitude e fase), porque isso facilita escrever
no domínio do tempo.
- Primeiro escrevemos o denominador complexo:
- Numerador:
- Dividindo e extraindo a raiz quadrada (detalhes algébricos omitidos para não alongar demais), obtém-se:
Em forma retangular:
Explicação:
é a razão entre amplitudes de
e
no meio; a fase de
é a defasagem entre
e
(pequena aqui, cerca de
).
Passo 7
Velocidade de fase
, comprimento de onda
e profundidade de penetração (skin depth)
:
- Velocidade de fase:
- Comprimento de onda:
- Profundidade de penetração (skin depth):
Comentário:
diz a que distância o campo cai por um fator
. Aqui
.
Passo 8
Resposta à parte (b): posição em que a amplitude de
é
.
- A amplitude de
varia com como .
Queremos. - Resolva:
Ou seja, aproximadamente
no sentido +
.
Passo 9
Parte (c): escrever
e
em
.
-
Primeiro a forma geral para o campo magnético (onda viajando em +
, atenuação e avanço de fase ): Substituindo, , , : Numérica e simplificada a amplitude exponencial:Logo -
Para
: use a relação vetorial para onda plana que propaga em + : ondeé o vetor de propagação. Como , Portantoaponta na direção e possui amplitude vezes a amplitude de , com fase adicional igual ao ângulo de (a fase de é ). Assim, no tempo:Substituindo números:amplitude numérica:Logo
Observação final: os campos em
são extremamente pequenos por causa da forte atenuação (
).
Resposta
a)
(aprox.
).\n
c)
)
c)