P.8-12 The magnetic field intensity of a linearly polarized uniform plane wave propagating in the +y-direction in seawater \left[\epsilon_{r}=80, \mu_{r}=1, \sigma=4(\mathrm{~S} / \mathrm{m})\right] is
\mathbf{H}=\mathbf{a}_{x} 0.1 \sin \left(10^{10} \pi t-\pi / 3\right) \quad(\mathrm{A} / \mathrm{m})
at y=0.
a) Determine the attenuation constant, the phase constant, the intrinsic impedance, the phase velocity, the wavelength, and the skin depth.
b) Find the location at which the amplitude of \mathbf{H} is 0.01(\mathbf{A} / \mathrm{m}).
c) Write the expressions for \mathbf{E}(y, t) and \mathbf{H}(y, t) at y=0.5(\mathrm{~m}) as functions of t.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados do meio (água do mar):
    \epsilon_{r}=80, \mu_{r}=1, \sigma=4\\ \mathrm{S/m}.
  • Campo magnético no plano y=0: \mathbf{H}(y=0,t)=\mathbf{a}_{x}\;0{,}1\sin\!\big(10^{10}\pi\,t-\pi/3\big)\quad(\mathrm{A}/\mathrm{m}).
  • Perguntas:
    a) Determinar \alpha (constante de atenuação), \beta (constante de fase), impedância intrínseca \eta, velocidade de fase v_p, comprimento de onda \lambda e profundidade de penetração (skin depth) \delta.
    b) Encontrar a posição y em que a amplitude de \mathbf{H} é 0{,}01\\ \mathrm{A}/\mathrm{m}.
    c) Escrever \mathbf{E}(y,t) e \mathbf{H}(y,t) em y=0{,}5\\ \mathrm{m} como funções de t.

Passo 2

Identificações e constantes físicas que vamos usar (sempre na forma matemática):
\omega=10^{10}\pi\quad(\mathrm{rad/s}),
\mu=\mu_0\mu_r=\big(4\pi\times10^{-7}\big)\mu_r,
\epsilon=\epsilon_0\epsilon_r.
Agora substituímos \mu_r=1 e \epsilon_r=80. Para cálculo numérico usarei \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e \epsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Calculemos \mu e \epsilon: \mu=1{,}256637061\times10^{-6}\\ \mathrm{H/m},
\epsilon=8{,}854187817\times10^{-12}\times80 =7{,}083350254\times10^{-10}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 3

Fórmulas gerais para um meio condutor (permeabilidade real, permitividade real, condutividade \sigma):
Para uma onda plana em um meio com perdas, a constante de propagação \gamma=\alpha+j\beta pode ser obtida por
\alpha=\omega\sqrt{\frac{\mu\epsilon}{2}}\, \sqrt{\sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\omega\epsilon}\right)^2}-1},
\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\epsilon}{2}}\, \sqrt{\sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\omega\epsilon}\right)^2}+1}.
Expliquei: a expressão vem da raiz quadrada complexa
\gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\epsilon)}. Ao separar parte real e imaginária e simplificar obtemos as fórmulas para \alpha e \beta acima. As quantidades significam:
  • \omega: frequência angular (rad/s),
  • \mu: permeabilidade (H/m),
  • \epsilon: permitividade (F/m),
  • \sigma: condutividade (S/m).

Passo 4

Calculemos os termos intermediários numéricos:
  • Primeiro \omega: \omega=10^{10}\pi\approx3{,}1415926536\times10^{10}\\ \mathrm{rad/s}.
  • \omega\epsilon: \omega\epsilon\approx3{,}1415926536\times10^{10}\times7{,}083350254\times10^{-10} \approx22{,}2441\\ \mathrm{S/m}.
  • Razão \dfrac{\sigma}{\omega\epsilon}: \frac{\sigma}{\omega\epsilon}=\frac{4}{22{,}2441}\approx0{,}17983.
  • Produto \mu\epsilon: \mu\epsilon\approx1{,}256637061\times10^{-6}\times7{,}083350254\times10^{-10} \approx8{,}8985\times10^{-16}.
  • Fator \omega\sqrt{\dfrac{\mu\epsilon}{2}}: \omega\sqrt{\frac{\mu\epsilon}{2}} \approx663{,}3\\ \mathrm{(m^{-1})}.
(Expliquei: calculei \sqrt{\mu\epsilon/2} e multipliquei por \omega.)

Passo 5

Agora aplicamos as fórmulas para \alpha e \beta.
  • Calcule \sqrt{1+\left(\frac{\sigma}{\omega\epsilon}\right)^2}=\sqrt{1+0{,}17983^2}\approx1{,}01598.
  • Então \alpha\approx663{,}3\sqrt{1{,}01598-1}=663{,}3\sqrt{0{,}01598}\approx663{,}3\times0{,}1264\approx83{,}8\\ \mathrm{Np/m},
\beta\approx663{,}3\sqrt{1{,}01598+1}=663{,}3\sqrt{2{,}01598}\approx663{,}3\times1{,}4199\approx941{,}1\\ \mathrm{rad/m}.
Interpretação rápida: \alpha grande significa que o campo decai rapidamente com y; \beta dá a variação de fase por metro.

Passo 6

Impedância intrínseca \eta do meio condutor (número complexo). Fórmula geral:
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\epsilon}}.
Vou calcular numericamente em forma de módulo e ângulo (magnitude e fase), porque isso facilita escrever \mathbf{E} no domínio do tempo.
  • Primeiro escrevemos o denominador complexo: \sigma+j\omega\epsilon=4+j\,22{,}2441.
  • Numerador: j\omega\mu=j\,\big(\omega\mu\big)\approx j\,39{,}478\quad(\text{número obtido numericamente}).ú
  • Dividindo e extraindo a raiz quadrada (detalhes algébricos omitidos para não alongar demais), obtém-se: \eta\approx41{,}81\\ \angle\\\ 5{,}095^\circ\\ \Omega.
Em forma retangular:
\eta\approx41{,}65 + j\,3{,}72\\ \Omega.
Explicação: |\eta| é a razão entre amplitudes de E e H no meio; a fase de \eta é a defasagem entre E e H (pequena aqui, cerca de 5^\circ).

Passo 7

Velocidade de fase v_p, comprimento de onda \lambda e profundidade de penetração (skin depth) \delta:
  • Velocidade de fase: v_p=\frac{\omega}{\beta}\approx\frac{3{,}14159265\times10^{10}}{941{,}1}\approx3{,}34\times10^{7}\\ \mathrm{m/s}.
  • Comprimento de onda: \lambda=\frac{2\pi}{\beta}\approx\frac{2\pi}{941{,}1}\approx6{,}68\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade de penetração (skin depth): \delta=\frac{1}{\alpha}\approx\frac{1}{83{,}8}\approx0{,}01193\\ \mathrm{m}.
Comentário: \delta diz a que distância o campo cai por um fator 1/e. Aqui \delta\approx11{,}9\\ \mathrm{mm}.

Passo 8

Resposta à parte (b): posição em que a amplitude de \mathbf{H} é 0{,}01\\ \mathrm{A/m}.
  • A amplitude de \mathbf{H} varia com y como 0{,}1 e^{-\alpha y}.
    Queremos 0{,}1e^{-\alpha y}=0{,}01.
  • Resolva: e^{-\alpha y}=0{,}1\quad\Rightarrow\quad -\alpha y=\ln(0{,}1)=-\ln 10=-2{,}302585\ldots
y=\frac{2{,}302585}{\alpha}\approx\frac{2{,}302585}{83{,}8}\approx0{,}02748\\ \mathrm{m}.
Ou seja, aproximadamente 2{,}75\\ \mathrm{cm} no sentido + y.

Passo 9

Parte (c): escrever \mathbf{H}(y,t) e \mathbf{E}(y,t) em y=0{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro a forma geral para o campo magnético (onda viajando em + y, atenuação e^{-\alpha y} e avanço de fase -\beta y):
    \mathbf{H}(y,t)=\mathbf{a}_x\;0{,}1\,e^{-\alpha y}\sin\!\big(\omega t-\beta y-\pi/3\big).
    Substituindo y=0{,}5\\ \mathrm{m}, \alpha\approx83{,}8, \beta\approx941{,}1, \omega=10^{10}\pi:
    \mathbf{H}\big(0{,}5,t\big)=\mathbf{a}_x\;0{,}1\,e^{-83{,}8\times0{,}5}\, \sin\!\big(10^{10}\pi\,t-941{,}1\times0{,}5-\pi/3\big).
    Numérica e simplificada a amplitude exponencial:
    0{,}1e^{-83{,}8\times0{,}5}=0{,}1e^{-41{,}9}\approx6{,}5\times10^{-20}\\ \mathrm{A/m}.
    Logo
    \mathbf{H}\big(0{,}5,t\big)\approx\mathbf{a}_x\;6{,}5\times10^{-20} \sin\!\big(10^{10}\pi\,t-470{,}55-\pi/3\big)\\ \mathrm{A/m}.
  • Para \mathbf{E}: use a relação vetorial para onda plana que propaga em + y:
    \mathbf{E}=\eta\big(\mathbf{H}\times\hat{u}\big),
    onde \hat{u}=\mathbf{a}_y é o vetor de propagação. Como \mathbf{H}\parallel\mathbf{a}_x,
    \mathbf{H}\times\mathbf{a}_y=\mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_y=\mathbf{a}_z.
    Portanto \mathbf{E} aponta na direção \mathbf{a}_z e possui amplitude |\eta| vezes a amplitude de \mathbf{H}, com fase adicional igual ao ângulo de \eta (a fase de \eta é \approx5{,}095^\circ\approx0{,}08895\\ \mathrm{rad}).
    Assim, no tempo:
    \mathbf{E}\big(0{,}5,t\big)=\mathbf{a}_z\;|\eta|\;0{,}1\,e^{-\alpha(0{,}5)} \sin\!\big(\omega t-\beta(0{,}5)-\pi/3+\angle\eta\big).
    Substituindo números:
    |\eta|\approx41{,}81,\quad \angle\eta\approx0{,}08895\\ \mathrm{rad},
    amplitude numérica:
    |\eta|\,0{,}1e^{-41{,}9}\approx41{,}81\times6{,}5\times10^{-20}\approx2{,}7\times10^{-18}\\ \mathrm{V/m}.
    Logo
    \mathbf{E}\big(0{,}5,t\big)\approx\mathbf{a}_z\;2{,}7\times10^{-18} \sin\!\big(10^{10}\pi\,t-470{,}55-\pi/3+0{,}08895\big)\\ \mathrm{V/m}.
Observação final: os campos em y=0{,}5\\ \mathrm{m} são extremamente pequenos por causa da forte atenuação ( e^{-41{,}9}\approx6{,}5\times10^{-19}).

Resposta

a) \alpha\approx83{,}8\\ \mathrm{Np/m},\quad \beta\approx941{,}1\\ \mathrm{rad/m},\quad \eta\approx41{,}81\angle5{,}095^\circ\\ \Omega\\ (\text{ou }41{,}65+j3{,}72\\ \Omega),\quad v_p\approx3{,}34\times10^{7}\\ \mathrm{m/s},\quad \lambda\approx6{,}68\times10^{-3}\\ \mathrm{m},\quad \delta\approx0{,}01193\\ \mathrm{m}.\n b) \(y\approx0{,}02748\\ \mathrm{m} (aprox. 2{,}75\\ \mathrm{cm}).\n
c) \displaystyle \mathbf{H}\big(0{,}5,t\big)\approx\mathbf{a}_x\;6{,}5\times10^{-20} \sin\!\big(10^{10}\pi\,t-470{,}55-\pi/3\big)\\ \mathrm{A/m},
\displaystyle \mathbf{E}\big(0{,}5,t\big)\approx\mathbf{a}_z\;2{,}7\times10^{-18} \sin\!\big(10^{10}\pi\,t-470{,}55-\pi/3+0{,}08895\big)\\ \mathrm{V/m}.)

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