Determine and compare the intrinsic impedance, attentuation constant (in both
and
), and skin depth of copper
], silver [
], and brass ([\sigma_{\mathrm{br}}=1.59 \times 10^{7}(\mathrm{~S} / \mathrm{m})]) at the following frequencies:
1(
))
Passo 1
O enunciado pede que eu determine e compare, para
, para cobre, prata e latão:
- a impedância intrínseca (intrinsic impedance) do meio,
- a constante de atenuação em
e em , - a profundidade de skin (skin depth).
Dados fornecidos:
Assumo materiais não magnéticos (
), portanto
Frequência:
Passo 2
Vou apresentar a teoria necessária, com explicação passo a passo e sem pular etapas.
- Propagação em condutor bom: a constante de propagação geral é
Aqui
,
é a permeabilidade (assumo
),
é a condutividade, e
a permissividade. Para metais em faixas de rádio normalmente vale
(condutor bom), então podemos desprezar
frente a
. Assim
- Usamos a identidade
. Portanto
Definindo a constante de atenuação
e a constante de fase
, obtemos
Substituindo
,
Isto é uma fórmula muito usada para condutores bons: a atenuação cresce com a raiz de
e de
.
- Impedância intrínseca no condutor: a expressão geral é
Usando
obtemos a forma aproximada para condutor bom:
Podemos igualmente escrever, usando
,
A magnitude e fase são então
- Profundidade de skin: é a distância
tal que o campo cai a . Por definição
- Conversão de atenuação para dB/m:
. Então
Essas fórmulas e relações são as que vou aplicar numericamente. Repare que eu expliquei o que é cada símbolo:
frequência,
,
permeabilidade,
condutividade,
atenuação (Np/m),
impedância (ohms),
skin depth (m).
Passo 3
Calcular constantes numéricas intermediárias (mostro contas para você poder refazer na prova sem calculadora, com raciocínio):
Calculemos
Numericamente
E também
(Usei
, então
.)
Passo 4
Calcular
,
em
,
em
e
para cada metal.
(A) Cobre,
.
Produto intermediário:
Tomando raiz quadrada:
Converter para dB/m:
Skin depth:
(B) Prata,
.
Produto:
Raiz:
dB/m:
Skin depth:
(C) Latão (brass),
.
Produto:
Raiz:
dB/m:
Skin depth:
(Observação de verificação rápida: metais com maior
têm menor
e maior
— campos penetram menos e decaem mais rápido dentro do condutor.)
Passo 5
Calcular a impedância intrínseca aproximada
Vou calcular a parte real e imaginária (iguais entre si) e a magnitude
.
(A) Cobre:
Logo
Magnitude e fase:
(B) Prata:
(C) Latão:
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo:
- Metais melhores condutores (maior
) têm maior atenuação e menor skin depth : o campo penetra menos e decai mais rápido. Pode parecer estranho à primeira vista, mas faz sentido: dentro de um condutor bom a onda se “apaga” muito rapidamente, ficando confinado numa camada superficial fina. - A impedância intrínseca dentro do metal é muito baixa (frações de mili-ohm), com fase
; nos cálculos acima eu dei real e imaginário (iguais) e a magnitude.
Você está indo bem — esses passos são justamente o tipo de manipulação que costuma cair na prova: reconhecer a aproximação “condutor bom”, usar
e aplicar as fórmulas. Se quiser, eu posso repetir os cálculos com mais casas decimais ou mostrar como montar uma tabela pronta para a prova.
Resposta
Cobre:
;\
;
;\
.
Prata:
;\
;
;\
.
Latão (brass):
;\
;
;\
.