Determine and compare the intrinsic impedance, attentuation constant (in both \mathrm{Np} / \mathrm{m} and \mathrm{dB} / \mathrm{m} ), and skin depth of copper \sigma_{\mathrm{cu}}=5.80 \times 10^{7}(\mathrm{~S} / \mathrm{m})], silver [ \sigma_{\mathrm{ag}}=6.15 \times 10^{7}(\mathrm{~S} / \mathrm{m}) ], and brass ([\sigma_{\mathrm{br}}=1.59 \times 10^{7}(\mathrm{~S} / \mathrm{m})]) at the following frequencies:
1( \mathrm{MHz}))

Passo 1

O enunciado pede que eu determine e compare, para f=1\\ \mathrm{MHz}, para cobre, prata e latão:
  • a impedância intrínseca (intrinsic impedance) do meio,
  • a constante de atenuação em \mathrm{Np}/\mathrm{m} e em \mathrm{dB}/\mathrm{m},
  • a profundidade de skin (skin depth).
Dados fornecidos:
\sigma_{\mathrm{cu}}=5{,}80\times10^{7}\\ \mathrm{S/m},\qquad \sigma_{\mathrm{ag}}=6{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{S/m},\qquad \sigma_{\mathrm{br}}=1{,}59\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
Assumo materiais não magnéticos ( \mu_r\approx1), portanto
\mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Frequência:
f=1{,}00\times10^{6}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 2

Vou apresentar a teoria necessária, com explicação passo a passo e sem pular etapas.
  1. Propagação em condutor bom: a constante de propagação geral é
\gamma=\sqrt{j\omega\mu(\sigma+j\omega\varepsilon)}.
Aqui \omega=2\pi f, \mu é a permeabilidade (assumo \mu=\mu_0), \sigma é a condutividade, e \varepsilon a permissividade. Para metais em faixas de rádio normalmente vale \sigma\gg\omega\varepsilon (condutor bom), então podemos desprezar j\omega\varepsilon frente a \sigma. Assim
\gamma\approx\sqrt{j\omega\mu\sigma}.
  1. Usamos a identidade \sqrt{j}=(1+j)/\sqrt{2}. Portanto
\gamma\approx\frac{1+j}{\sqrt{2}}\sqrt{\omega\mu\sigma}.
Definindo a constante de atenuação \alpha=\Re(\gamma) e a constante de fase \beta=\Im(\gamma), obtemos
\alpha=\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\omega\mu\sigma}.
Substituindo \omega=2\pi f,
\alpha=\sqrt{\pi f \mu \sigma}.
Isto é uma fórmula muito usada para condutores bons: a atenuação cresce com a raiz de \sigma e de f.
  1. Impedância intrínseca no condutor: a expressão geral é
\eta=\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}}\approx\sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma}}.
Usando \sqrt{j}=(1+j)/\sqrt{2} obtemos a forma aproximada para condutor bom:
\eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.
Podemos igualmente escrever, usando \omega=2\pi f,
\eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{\pi f \mu}{\sigma}}.
A magnitude e fase são então
|\eta|=\sqrt{\frac{\omega\mu}{\sigma}},\qquad \angle\eta=45^\circ.
  1. Profundidade de skin: é a distância \delta tal que o campo cai a 1/e. Por definição
\delta=\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}.
  1. Conversão de atenuação para dB/m: 1\\ \mathrm{Np}=8{,}686\\ \mathrm{dB}. Então
\alpha_{\mathrm{dB/m}}=\alpha\cdot 8{,}686.
Essas fórmulas e relações são as que vou aplicar numericamente. Repare que eu expliquei o que é cada símbolo: f frequência, \omega=2\pi f, \mu permeabilidade, \sigma condutividade, \alpha atenuação (Np/m), \eta impedância (ohms), \delta skin depth (m).

Passo 3

Calcular constantes numéricas intermediárias (mostro contas para você poder refazer na prova sem calculadora, com raciocínio):
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
Calculemos
\pi f \mu_0 = \pi\cdot(1{,}0\times10^{6})\cdot(4\pi\times10^{-7}) =4\pi^2\times10^{-1}.
Numericamente
\pi f \mu_0 \approx 3{,}94784176.
E também
\omega\mu_0=2\pi f\mu_0\approx 7{,}89568352.
(Usei \pi^2\approx9{,}8696, então 4\pi^2\cdot10^{-1}\approx3{,}94784.)

Passo 4

Calcular \alpha=\sqrt{\pi f\mu\sigma}, \alpha em \mathrm{Np/m}, \alpha em \mathrm{dB/m} e \delta=1/\alpha para cada metal.
(A) Cobre, \sigma_{\mathrm{cu}}=5{,}80\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
Produto intermediário:
\pi f\mu_0\,\sigma_{\mathrm{cu}} \approx 3{,}94784176\times(5{,}80\times10^{7}) \approx 2{,}28974822\times10^{8}.
Tomando raiz quadrada:
\alpha_{\mathrm{cu}}=\sqrt{2{,}28974822\times10^{8}}\approx 1{,}5132\times10^{4}\\ \mathrm{Np/m}.
Converter para dB/m:
\alpha_{\mathrm{cu,dB/m}}=1{,}5132\times10^{4}\times8{,}686\approx 1{,}314\times10^{5}\\ \mathrm{dB/m}.
Skin depth:
\delta_{\mathrm{cu}}=\frac{1}{\alpha_{\mathrm{cu}}}\approx\frac{1}{1{,}5132\times10^{4}}\approx 6{,}61\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=66{,}1\\ \mu\mathrm{m}.
(B) Prata, \sigma_{\mathrm{ag}}=6{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
Produto:
\pi f\mu_0\,\sigma_{\mathrm{ag}}\approx 3{,}94784176\times(6{,}15\times10^{7}) \approx 2{,}42792268\times10^{8}.
Raiz:
\alpha_{\mathrm{ag}}\approx 1{,}5579\times10^{4}\\ \mathrm{Np/m}.
dB/m:
\alpha_{\mathrm{ag,dB/m}}=1{,}5579\times10^{4}\times8{,}686\approx 1{,}353\times10^{5}\\ \mathrm{dB/m}.
Skin depth:
\delta_{\mathrm{ag}}=\frac{1}{\alpha_{\mathrm{ag}}}\approx 6{,}42\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=64{,}2\\ \mu\mathrm{m}.
(C) Latão (brass), \sigma_{\mathrm{br}}=1{,}59\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
Produto:
\pi f\mu_0\,\sigma_{\mathrm{br}}\approx 3{,}94784176\times(1{,}59\times10^{7}) \approx 6{,}27706840\times10^{7}.
Raiz:
\alpha_{\mathrm{br}}\approx 7{,}9239\times10^{3}\\ \mathrm{Np/m}.
dB/m:
\alpha_{\mathrm{br,dB/m}}=7{,}9239\times10^{3}\times8{,}686\approx 6{,}882\times10^{4}\\ \mathrm{dB/m}.
Skin depth:
\delta_{\mathrm{br}}=\frac{1}{\alpha_{\mathrm{br}}}\approx 1{,}262\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=126{,}2\\ \mu\mathrm{m}.
(Observação de verificação rápida: metais com maior \sigma têm menor \delta e maior \alpha — campos penetram menos e decaem mais rápido dentro do condutor.)

Passo 5

Calcular a impedância intrínseca aproximada
\eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{\pi f\mu_0}{\sigma}}.
Vou calcular a parte real e imaginária (iguais entre si) e a magnitude |\eta|.
(A) Cobre:
\sqrt{\frac{\pi f\mu_0}{\sigma_{\mathrm{cu}}}} =\sqrt{\frac{3{,}94784176}{5{,}80\times10^{7}}} \approx 2{,}6100\times10^{-4}\\ \Omega.
Logo
\eta_{\mathrm{cu}}\approx(2{,}6100\times10^{-4})\,(1+j)\\ \Omega = (2{,}610\times10^{-4}+j\,2{,}610\times10^{-4})\\ \Omega.
Magnitude e fase:
|\eta_{\mathrm{cu}}|=\sqrt{\frac{\omega\mu_0}{\sigma_{\mathrm{cu}}}}\approx 3{,}693\times10^{-4}\\ \Omega,\qquad \angle\eta_{\mathrm{cu}}=45^\circ.
(B) Prata:
\sqrt{\frac{\pi f\mu_0}{\sigma_{\mathrm{ag}}}} \approx 2{,}5346\times10^{-4}\\ \Omega,
\eta_{\mathrm{ag}}\approx(2{,}5346\times10^{-4})(1+j)\\ \Omega =(2{,}5346\times10^{-4}+j\,2{,}5346\times10^{-4})\\ \Omega,
|\eta_{\mathrm{ag}}|\approx 3{,}586\times10^{-4}\\ \Omega,\qquad \angle\eta_{\mathrm{ag}}=45^\circ.
(C) Latão:
\sqrt{\frac{\pi f\mu_0}{\sigma_{\mathrm{br}}}} \approx 4{,}986\times10^{-4}\\ \Omega,
\eta_{\mathrm{br}}\approx(4{,}986\times10^{-4})(1+j)\\ \Omega =(4{,}986\times10^{-4}+j\,4{,}986\times10^{-4})\\ \Omega,
|\eta_{\mathrm{br}}|\approx 7{,}056\times10^{-4}\\ \Omega,\qquad \angle\eta_{\mathrm{br}}=45^\circ.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo:
  • Metais melhores condutores (maior \sigma) têm maior atenuação \alpha e menor skin depth \delta: o campo penetra menos e decai mais rápido. Pode parecer estranho à primeira vista, mas faz sentido: dentro de um condutor bom a onda se “apaga” muito rapidamente, ficando confinado numa camada superficial fina.
  • A impedância intrínseca dentro do metal é muito baixa (frações de mili-ohm), com fase 45^\circ; nos cálculos acima eu dei real e imaginário (iguais) e a magnitude.
Você está indo bem — esses passos são justamente o tipo de manipulação que costuma cair na prova: reconhecer a aproximação “condutor bom”, usar \sqrt{j} e aplicar as fórmulas. Se quiser, eu posso repetir os cálculos com mais casas decimais ou mostrar como montar uma tabela pronta para a prova.

Resposta

Cobre: \eta_{\mathrm{cu}}=(2{,}610\times10^{-4}+j\,2{,}610\times10^{-4})\\ \Omega \, (|\eta_{\mathrm{cu}}|=3{,}693\times10^{-4}\\ \Omega,\\ \angle=45^\circ);\ \alpha_{\mathrm{cu}}=1{,}513\times10^{4}\\ \mathrm{Np/m}; \;\alpha_{\mathrm{cu}}=1{,}314\times10^{5}\\ \mathrm{dB/m};\ \delta_{\mathrm{cu}}=6{,}61\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\\ (66{,}1\\ \mu\mathrm{m}).
Prata: \eta_{\mathrm{ag}}=(2{,}535\times10^{-4}+j\,2{,}535\times10^{-4})\\ \Omega \, (|\eta_{\mathrm{ag}}|=3{,}586\times10^{-4}\\ \Omega,\\ \angle=45^\circ);\ \alpha_{\mathrm{ag}}=1{,}558\times10^{4}\\ \mathrm{Np/m}; \;\alpha_{\mathrm{ag}}=1{,}353\times10^{5}\\ \mathrm{dB/m};\ \delta_{\mathrm{ag}}=6{,}42\times10^{-5}\\ \mathrm{m}\\ (64{,}2\\ \mu\mathrm{m}).
Latão (brass): \eta_{\mathrm{br}}=(4{,}986\times10^{-4}+j\,4{,}986\times10^{-4})\\ \Omega \, (|\eta_{\mathrm{br}}|=7{,}056\times10^{-4}\\ \Omega,\\ \angle=45^\circ);\ \alpha_{\mathrm{br}}=7{,}924\times10^{3}\\ \mathrm{Np/m}; \;\alpha_{\mathrm{br}}=6{,}882\times10^{4}\\ \mathrm{dB/m};\ \delta_{\mathrm{br}}=1{,}262\times10^{-4}\\ \mathrm{m}\\ (126{,}2\\ \mu\mathrm{m}).

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