Determine and compare the intrinsic impedance, attentuation constant (in both \mathrm{Np} / \mathrm{m} and \mathrm{dB} / \mathrm{m} ), and skin depth of copper \sigma_{\mathrm{cu}}=5.80 \times 10^{7}(\mathrm{~S} / \mathrm{m})], silver [ \sigma_{\mathrm{ag}}=6.15 \times 10^{7}(\mathrm{~S} / \mathrm{m}) ], and brass ([\sigma_{\mathrm{br}}=1.59 \times 10^{7}(\mathrm{~S} / \mathrm{m})]) at the following frequencies:
1( \mathrm{GHz}))

Passo 1

O enunciado pede para determinar e comparar, para cada metal (cobre, prata e latão) em f=1\\ \mathrm{GHz}, os seguintes parâmetros: a impedância intrínseca, a constante de atenuação (em \mathrm{Np/m} e em \mathrm{dB/m}) e a profundidade de penetração (skin depth). Os dados fornecidos são as condutividades:
\sigma_{\mathrm{cu}}=5{,}80\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}, \qquad \sigma_{\mathrm{ag}}=6{,}15\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}, \qquad \sigma_{\mathrm{br}}=1{,}59\times10^{7}\\ \mathrm{S/m}.
Não há indicação de permeabilidade magnética especial, portanto usaremos a permeabilidade do vácuo \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e desprezaremos a permitividade da matéria (ou seja, tratamos como bom condutor, \omega\varepsilon\ll\sigma). As quantidades pedidas serão calculadas para cada metal em f=1\\ \mathrm{GHz}.

Passo 2

Vou expor a teoria e as fórmulas que usamos (com explicação do que cada símbolo significa), porque isso ajuda a aplicar as fórmulas na prova.
  • Definições e variáveis:
    \omega=2\pi f é a pulsação (rad/s).
    \mu é a permeabilidade do meio; aqui \mu=\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
    \sigma é a condutividade elétrica (S/m).
    A constante de propagação complexa é \gamma=\alpha+j\beta (em \mathrm{Np/m} para \alpha).
    A impedância intrínseca complexa é \eta=\sqrt{\dfrac{j\omega\mu}{\sigma+j\omega\varepsilon}} (em \Omega).
  • Aproximação para bom condutor: quando \sigma\gg\omega\varepsilon (o que ocorre em metais a radiofrequência), podemos aproximar
    \gamma=\sqrt{j\omega\mu\sigma}\approx(1+j)\frac{\sqrt{\omega\mu\sigma}}{\sqrt{2}}.
    Dessa forma as partes real e imaginária são iguais e temos
    \alpha=\beta=\frac{\sqrt{\omega\mu\sigma}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\pi f \mu \sigma}.
    Aqui \alpha é a constante de atenuação em \mathrm{Np/m}.
  • Profundidade de penetração (skin depth) \delta é a distância em que o campo decai a 1/e e, para bom condutor,
    \delta=\frac{1}{\alpha}=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}=\frac{1}{\sqrt{\pi f \mu \sigma}}.
  • Impedância intrínseca aproximada para bom condutor:
    \eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu}{2\sigma}}.
    Aqui o valor real e imaginário são iguais; a magnitude é |\eta|=\sqrt{\dfrac{\omega\mu}{\sigma}}=\sqrt{\dfrac{2}{\sigma}}\sqrt{\dfrac{\omega\mu}{2}} (mas a forma (1+j)\sqrt{\omega\mu/(2\sigma)} é prática porque mostra o ângulo de 45^\circ).
  • Conversão \mathrm{Np} para \mathrm{dB}: 1\\ \mathrm{Np}=8{,}685889638\\ \mathrm{dB}. Então
    \alpha_{\mathrm{dB/m}}=\alpha_{\mathrm{Np/m}}\times 8{,}685889638.
Antes de aplicar, confirmamos que a aproximação \sigma\gg\omega\varepsilon_0 vale: \omega\varepsilon_0=2\pi f \varepsilon_0 com \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}. Em 1\\ \mathrm{GHz} isso é \approx 0{,}056, que é muitíssimo menor que \sigma\sim10^{7}, logo a aproximação é válida.

Passo 3

Calcular constantes numéricas úteis (tudo em unidades SI):
\mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, \qquad f=1\times10^{9}\\ \mathrm{Hz},
\pi f \mu_0 \approx 3947{,}841760435\quad(\text{unidade: } \mathrm{(s\cdot H)/m} \\ \text{mas tratamos numericamente}).
Também usarei \omega\mu_0/2=\pi f \mu_0, então as fórmulas ficam numéricas diretas:
\alpha=\sqrt{\pi f \mu_0 \sigma},\qquad \delta=\frac{1}{\alpha},\qquad \eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{\pi f \mu_0}{\sigma}}.

Passo 4

  1. Calcular \alpha:
\alpha=\sqrt{\pi f \mu_0 \sigma_{\mathrm{cu}}} =\sqrt{3947{,}841760435\times 5{,}80\times10^{7}} \approx 4{,}785712\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}.
  1. Converter para dB/m:
\alpha_{\mathrm{dB/m}}=\alpha\times8{,}685889638 \approx 4{,}156801\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}.
  1. Profundidade de penetração:
\delta=\frac{1}{\alpha}\approx \frac{1}{4{,}785712\times10^{5}}\approx 2{,}08905\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=2{,}09\\ \mu\mathrm{m}.
  1. Impedância intrínseca aproximada:
\eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{\pi f \mu_0}{\sigma_{\mathrm{cu}}}} =(1+j)\sqrt{\frac{3947{,}841760435}{5{,}80\times10^{7}}} \approx(1+j)\,8{,}2530\times10^{-3}\\ \Omega.
Magnitude:
|\eta|\approx\sqrt{\frac{\omega\mu_0}{\sigma_{\mathrm{cu}}}}\approx 1{,}1677\times10^{-2}\\ \Omega,
ângulo 45^\circ (porque real = imag).

Passo 5

  1. \alpha:
\alpha=\sqrt{3947{,}841760435\times6{,}15\times10^{7}} \approx 4{,}926769\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}.
  1. \alpha em dB/m:
\alpha_{\mathrm{dB/m}}\approx 4{,}926769\times10^{5}\times8{,}685889638 \approx 4{,}279942\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}.
  1. \delta:
\delta=\frac{1}{\alpha}\approx 2{,}0304\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=2{,}03\\ \mu\mathrm{m}.
  1. \eta:
\eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{3947{,}841760435}{6{,}15\times10^{7}}} \approx(1+j)\,8{,}0125\times10^{-3}\\ \Omega,
|\eta|\approx1{,}1341\times10^{-2}\\ \Omega, ângulo 45^\circ.

Passo 6

  1. \alpha:
\alpha=\sqrt{3947{,}841760435\times1{,}59\times10^{7}} \approx 2{,}505409\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}.
  1. \alpha em dB/m:
\alpha_{\mathrm{dB/m}}\approx 2{,}505409\times10^{5}\times8{,}685889638 \approx 2{,}176246\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}.
  1. \delta:
\delta=\frac{1}{\alpha}\approx 3{,}9927\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=3{,}99\\ \mu\mathrm{m}.
  1. \eta:
\eta\approx(1+j)\sqrt{\frac{3947{,}841760435}{1{,}59\times10^{7}}} \approx(1+j)\,1{,}5768\times10^{-2}\\ \Omega,
|\eta|\approx2{,}2299\times10^{-2}\\ \Omega, ângulo 45^\circ.

Passo 7

  • A constante de atenuação \alpha cresce com \sqrt{\sigma}. Assim, entre os três metais, a ordem de \alpha (maior \rightarrow menor) é: prata > cobre > latão. Ou seja, campos decaem mais rápido na prata (porém atenção: isso significa menor skin depth, logo a corrente fica confinada numa camada mais fina — não é “melhor” ou “pior” sem contexto).
  • A profundidade de penetração \delta varia como 1/\sqrt{\sigma}. Logo prata tem menor \delta (~2,03 \mum), cobre um pouco maior (~2,09 \mum) e latão bem maior (~3,99 \mum).
  • A impedância intrínseca |\eta| diminui com \sqrt{1/\sigma}: metais mais condutores têm menor impedância (prata < cobre < latão). A impedância aproximada tem fase 45^\circ (real = imag) na aproximação de bom condutor.
  • Os valores de atenuação em \mathrm{dB/m} são enormes: isso mostra que dentro de um condutor maciço em 1\\ \mathrm{GHz} o campo cai absurdamente rápido (milhões de dB por metro) — por isso a atenção na engenharia: as correntes se limitam à camada de skin.

Resposta

Cobre: \eta\approx(1+j)\,8{,}2530\times10^{-3}\\ \Omega (, |\eta|\approx1{,}1677\times10^{-2}\\ \Omega, fase 45^\circ,)\n \alpha\approx 4{,}785712\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}\n \alpha\approx 4{,}156801\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}\n \delta\approx 2{,}08905\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (≈ 2{,}09\\ \mu\mathrm{m})
Prata: \eta\approx(1+j)\,8{,}0125\times10^{-3}\\ \Omega (, |\eta|\approx1{,}1341\times10^{-2}\\ \Omega, fase 45^\circ,)\n \alpha\approx 4{,}926769\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}\n \alpha\approx 4{,}279942\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}\n \delta\approx 2{,}0304\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (≈ 2{,}03\\ \mu\mathrm{m})
Latão: \eta\approx(1+j)\,1{,}5768\times10^{-2}\\ \Omega (, |\eta|\approx2{,}2299\times10^{-2}\\ \Omega, fase 45^\circ,)\n \alpha\approx 2{,}505409\times10^{5}\\ \mathrm{Np/m}\n \alpha\approx 2{,}176246\times10^{6}\\ \mathrm{dB/m}\n \delta\approx 3{,}9927\times10^{-6}\\ \mathrm{m} (≈ 3{,}99\\ \mu\mathrm{m})

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