Determine and compare the intrinsic impedance, attentuation constant (in both
and
), and skin depth of copper
], silver [
], and brass ([\sigma_{\mathrm{br}}=1.59 \times 10^{7}(\mathrm{~S} / \mathrm{m})]) at the following frequencies:
1(
))
Passo 1
O enunciado pede para determinar e comparar, para cada metal (cobre, prata e latão) em
, os seguintes parâmetros: a impedância intrínseca, a constante de atenuação (em
e em
) e a profundidade de penetração (skin depth). Os dados fornecidos são as condutividades:
Não há indicação de permeabilidade magnética especial, portanto usaremos a permeabilidade do vácuo
e desprezaremos a permitividade da matéria (ou seja, tratamos como bom condutor,
). As quantidades pedidas serão calculadas para cada metal em
.
Passo 2
Vou expor a teoria e as fórmulas que usamos (com explicação do que cada símbolo significa), porque isso ajuda a aplicar as fórmulas na prova.
-
Definições e variáveis:
é a pulsação (rad/s).
é a permeabilidade do meio; aqui .
é a condutividade elétrica (S/m).
A constante de propagação complexa é(em para ).
A impedância intrínseca complexa é(em ). -
Aproximação para bom condutor: quando
(o que ocorre em metais a radiofrequência), podemos aproximar Dessa forma as partes real e imaginária são iguais e temosAquié a constante de atenuação em . -
Profundidade de penetração (skin depth)
é a distância em que o campo decai a e, para bom condutor, -
Impedância intrínseca aproximada para bom condutor:Aqui o valor real e imaginário são iguais; a magnitude é
(mas a forma é prática porque mostra o ângulo de ). -
Conversão
para : . Então
Antes de aplicar, confirmamos que a aproximação
vale:
com
. Em
isso é
, que é muitíssimo menor que
, logo a aproximação é válida.
Passo 3
Calcular constantes numéricas úteis (tudo em unidades SI):
Também usarei
, então as fórmulas ficam numéricas diretas:
Passo 4
- Calcular
:
- Converter para dB/m:
- Profundidade de penetração:
- Impedância intrínseca aproximada:
Magnitude:
ângulo
(porque real = imag).
Passo 5
-
:
-
em dB/m:
-
:
-
:
Passo 6
-
:
-
em dB/m:
-
:
-
:
Passo 7
- A constante de atenuação
cresce com . Assim, entre os três metais, a ordem de (maior menor) é: prata cobre latão. Ou seja, campos decaem mais rápido na prata (porém atenção: isso significa menor skin depth, logo a corrente fica confinada numa camada mais fina — não é “melhor” ou “pior” sem contexto). - A profundidade de penetração
varia como . Logo prata tem menor (~2,03 m), cobre um pouco maior (~2,09 m) e latão bem maior (~3,99 m). - A impedância intrínseca
diminui com : metais mais condutores têm menor impedância (prata < cobre < latão). A impedância aproximada tem fase (real = imag) na aproximação de bom condutor. - Os valores de atenuação em
são enormes: isso mostra que dentro de um condutor maciço em o campo cai absurdamente rápido (milhões de dB por metro) — por isso a atenção na engenharia: as correntes se limitam à camada de skin.
Resposta
Cobre:
(,
, fase
,)\n
\n
\n
(≈
)
Prata:
(,
, fase
,)\n
\n
\n
(≈
)
Latão:
(,
, fase
,)\n
\n
\n
(≈
)