12 Twenty rounds of standard military rifle ammunition were fired from a test weapon, resulting in a mean muzzle velocity of \mathrm{x},=595 meters per second ( \mathrm{m} / \mathrm{s} ). Twenty rounds of test ammunition were also fired from the weapon, resulting in a mean muzzle velocity of x 2=600 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. The sample variances were computed as \mathrm{S}=4.1 and \mathrm{S}=5.0, respectively. Assume that muzzle velocity is normally distributed.
(a)Construct a 90 \% two-sided confidence interval on the difference in mean muzzle velocity, assuming that the variances are equal.

Passo 1

O que o problema pede: construir um intervalo de confiança bilateral de 90\% para a diferença das médias de velocidade de boca entre a munição padrão e a munição teste, assumindo variâncias iguais.
Informações dadas:
n_1=20,\quad \bar{x}_1=595,\quad s_1^{2}=4{,}1
n_2=20,\quad \bar{x}_2=600,\quad s_2^{2}=5{,}0
A velocidade de boca segue distribuição normal (informação usada para justificar o uso da distribuição t na inferência). O objetivo é um intervalo para \mu_1-\mu_2 (média da munição padrão menos média da munição teste).

Passo 2

Por que usamos a hipótese de variâncias iguais e qual fórmula usar.
Quando assumimos variâncias populacionais iguais ( \sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}), combinamos as informações das duas amostras para obter uma estimativa melhor da variância comum. Essa estimativa é a variância agrupada (pooled variance), definida por
s_p^{2}=\frac{(n_1-1)s_1^{2}+(n_2-1)s_2^{2}}{n_1+n_2-2}.
Aqui:
  • n_1,n_2 são os tamanhos das amostras;
  • s_1^{2},s_2^{2} são as variâncias amostrais;
  • s_p^{2} é a melhor estimativa de \sigma^{2} quando \sigma_1^{2}=\sigma_2^{2}.

Passo 3

Cálculo da variância agrupada e do desvio padrão agrupado.
Substituindo os números:
s_p^{2}=\frac{(20-1)\cdot 4{,}1+(20-1)\cdot 5{,}0}{20+20-2} =\frac{19\cdot 4{,}1 + 19\cdot 5{,}0}{38} =\frac{172{,}9}{38}=4{,}552631579.
Agora o desvio padrão agrupado:
s_p=\sqrt{s_p^{2}}=\sqrt{4{,}552631579}\approx 2{,}134.

Passo 4

Erro padrão da diferença de médias e fórmula do intervalo.
O erro padrão da diferença \bar{x}_1-\bar{x}_2 quando usamos s_p é
\mathrm{SE}=s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}.
Substituindo:
\mathrm{SE}=2{,}134\sqrt{\frac{1}{20}+\frac{1}{20}}=2{,}134\sqrt{0{,}1}=2{,}134\cdot 0{,}31622777\approx 0{,}6749.

Passo 5

Grau de liberdade e valor crítico t.
Os graus de liberdade para o caso de variâncias iguais são
\nu=n_1+n_2-2=20+20-2=38.
Para um intervalo bilateral de 90\% temos \alpha=0{,}10 e \alpha/2=0{,}05. O quantil crítico é t_{0{,}05,\,38}. Consultando a tabela t (ou calculadora), obtemos aproximadamente
t_{0{,}05,\,38}\approx 1{,}685.

Passo 6

Cálculo da margem de erro e expressão do intervalo (forma).
A margem de erro é
\text{ME}=t_{0{,}05,\,38}\cdot \mathrm{SE}\approx 1{,}685\cdot 0{,}6749\approx 1{,}1379.
A diferença amostral é
\bar{x}_1-\bar{x}_2=595-600=-5.
O intervalo de confiança é dado por
\bar{x}_1-\bar{x}_2 \pm \text{ME}.
(Obs.: os cálculos numéricos intermediários foram feitos acima; a resposta final com os extremos do intervalo está na seção de resposta.)

Resposta

\left(-6{,}14;\,-3{,}86\right)\mathrm{\,m/s}

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