12 Twenty rounds of standard military rifle ammunition were fired from a test weapon, resulting in a mean muzzle velocity of
meters per second (
). Twenty rounds of test ammunition were also fired from the weapon, resulting in a mean muzzle velocity of
. The sample variances were computed as
and
, respectively. Assume that muzzle velocity is normally distributed.
(a)Construct a
two-sided confidence interval on the difference in mean muzzle velocity, assuming that the variances are equal.
(a)Construct a
Passo 1
O que o problema pede: construir um intervalo de confiança bilateral de
para a diferença das médias de velocidade de boca entre a munição padrão e a munição teste, assumindo variâncias iguais.
Informações dadas:
A velocidade de boca segue distribuição normal (informação usada para justificar o uso da distribuição
na inferência). O objetivo é um intervalo para
(média da munição padrão menos média da munição teste).
Passo 2
Por que usamos a hipótese de variâncias iguais e qual fórmula usar.
Quando assumimos variâncias populacionais iguais (
), combinamos as informações das duas amostras para obter uma estimativa melhor da variância comum. Essa estimativa é a variância agrupada (pooled variance), definida por
Aqui:
-
são os tamanhos das amostras; -
são as variâncias amostrais; -
é a melhor estimativa de quando .
Passo 3
Cálculo da variância agrupada e do desvio padrão agrupado.
Substituindo os números:
Agora o desvio padrão agrupado:
Passo 4
Erro padrão da diferença de médias e fórmula do intervalo.
O erro padrão da diferença
quando usamos
é
Substituindo:
Passo 5
Grau de liberdade e valor crítico
.
Os graus de liberdade para o caso de variâncias iguais são
Para um intervalo bilateral de
temos
e
. O quantil crítico é
. Consultando a tabela
(ou calculadora), obtemos aproximadamente
Passo 6
Cálculo da margem de erro e expressão do intervalo (forma).
A margem de erro é
A diferença amostral é
O intervalo de confiança é dado por
(Obs.: os cálculos numéricos intermediários foram feitos acima; a resposta final com os extremos do intervalo está na seção de resposta.)