10 The output voltage of a power supply is assumed to be normally distributed.
Sixteen observations taken at random on voltage are shown below.
10.35 ; 9.30 ; 10.00 ; 9.47 ; 11.65 ; 12.00 ; 11.25 ; 9.58 ; 11.54 ; 9.95 ; 10.28 ; 8.37 ; 10.44 ; 9.25 ; 9.38 ; 10.85
(a) Construct a 95 \% two-sided confidence interval on \mu. (b) Construct a 95 \% two-sided confidence interval on \sigma. (c) Construct a 95 \% upper confidence interval on \sigma.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória com n=16 observações do output de tensão:
10{,}35;\;9{,}30;\;10{,}00;\;9{,}47;\;11{,}65;\;12{,}00;\;11{,}25;\;9{,}58;\;11{,}54;\;9{,}95;\;10{,}28;\;8{,}37;\;10{,}44;\;9{,}25;\;9{,}38;\;10{,}85.
As perguntas são:
(a) construir um intervalo de confiança bicaudal de 95\% para \mu (a média verdadeira da tensão);
(b) construir um intervalo de confiança bicaudal de 95\% para \sigma (o desvio-padrão verdadeiro);
(c) construir um intervalo de confiança unilateral superior de 95\% para \sigma.

Passo 2

Calcular as estatísticas amostrais essenciais: soma, média amostral \bar{x}, soma dos quadrados das diferenças e variância amostral s^2.
Somando os dados obtemos:
\sum_{i=1}^{16} x_i = 163{,}66.
A média amostral é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{16} x_i=\frac{163{,}66}{16}=10{,}229.

Passo 3

Calcular a variância amostral s^2 (usando divisor n-1). A soma dos quadrados das diferenças em torno da média (eu calculei cada (x_i-\bar{x})^2 e somei) é
\sum_{i=1}^{16} (x_i-\bar{x})^2 = 15{,}489976.
Logo a variância amostral é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{16} (x_i-\bar{x})^2=\frac{15{,}489976}{15}=1{,}03266507,
e o desvio-padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{1{,}03266507}=1{,}016.
(Arredondei s para três casas decimais; mantenho mais dígitos internamente quando necessário.)

Passo 4

(a) Intervalo de confiança bicaudal de 95\% para \mu quando \sigma é desconhecido:
usar a distribuição t com n-1 graus de liberdade. A fórmula geral é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde \alpha=0{,}05 para 95\%, t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil t crítico e \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média.

Passo 5

Calcular numericamente (a):
graus de liberdade =n-1=15. Pela tabela t, o quantil é
t_{0{,}975,\;15}=2{,}131.
O erro padrão é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1{,}016}{\sqrt{16}}=\frac{1{,}016}{4}=0{,}25406.
A margem de erro é
ME = 2{,}131\times 0{,}25406 = 0{,}5414.
Portanto o intervalo de confiança para \mu é
\bar{x}\pm ME = 10{,}229 \pm 0{,}5414,
ou seja
(10{,}229-0{,}5414,\;10{,}229+0{,}5414)=(9{,}688,\;10{,}770)
(arredondei para três casas decimais).

Passo 6

(b) Intervalo de confiança bicaudal de 95\% para \sigma:
quando os dados são normais, (n-1)S^2/\sigma^2 tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Invertendo a desigualdade obtemos o intervalo
\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\;n-1}}}\;\le\;\sigma\;\le\;\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2,\;n-1}}},
onde \chi^2_{p,\;v} é o quantil tal que P(\Chi^2_v\le \chi^2_{p,\;v})=p.

Passo 7

Calcular numericamente (b):
para n-1=15 e \alpha=0{,}05 temos os quantis (tabelas de qui-quadrado):
\chi^2_{0{,}975,\;15}=27{,}488,\qquad \chi^2_{0{,}025,\;15}=6{,}262.
O numerador (n-1)s^2 é a soma das diferenças quadradas que já calculamos:
(n-1)s^2 = 15{,}489976.
Assim
\sigma_{L}=\sqrt{\frac{15{,}489976}{27{,}488}}=\sqrt{0{,}5638}=0{,}751,
\sigma_{U}=\sqrt{\frac{15{,}489976}{6{,}262}}=\sqrt{2{,}473}=1{,}572.
Portanto o intervalo de 95\% para \sigma é aproximadamente
(0{,}751,\;1{,}572).

Passo 8

(c) Intervalo de confiança unilateral superior de 95\% para \sigma:
queremos um limite superior U tal que P(\sigma\le U)=0{,}95. A partir da distribuição qui-quadrado obtemos
U=\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha,\;n-1}}}
com \alpha=0{,}05 (quantil à esquerda).

Passo 9

Calcular numericamente (c):
para n-1=15 temos \chi^2_{0{,}05,\;15}=7{,}261 (valor da tabela). Então
U=\sqrt{\frac{15{,}489976}{7{,}261}}=\sqrt{2{,}134}=1{,}460.
O intervalo unilateral superior de 95\% para \sigma pode ser escrito como
(0,\;1{,}460)
ou dizendo que, com 95\% de confiança, \sigma\le 1{,}460.

Resposta

(a) (9{,}688,\;10{,}770)
(b) (0{,}751,\;1{,}572)
(c) (0,\;1{,}460)

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