(a) Construct a 95 \% two-sided confidence interval on \mu. (b) Construct a 95 \% two-sided confidence interval on \sigma. (c) Construct a 95 \% upper confidence interval on \sigma.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra aleatória com n=16 observações do output de tensão:
As perguntas são:
(a) construir um intervalo de confiança bicaudal de 95\% para \mu (a média verdadeira da tensão);
(b) construir um intervalo de confiança bicaudal de 95\% para \sigma (o desvio-padrão verdadeiro);
(c) construir um intervalo de confiança unilateral superior de 95\% para \sigma.
Passo 2
Calcular as estatísticas amostrais essenciais: soma, média amostral \bar{x}, soma dos quadrados das diferenças e variância amostral s^2.
Calcular a variância amostral s^2 (usando divisor n-1). A soma dos quadrados das diferenças em torno da média (eu calculei cada (x_i-\bar{x})^2 e somei) é
(b) Intervalo de confiança bicaudal de 95\% para \sigma:
quando os dados são normais, (n-1)S^2/\sigma^2 tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Invertendo a desigualdade obtemos o intervalo
Portanto o intervalo de 95\% para \sigma é aproximadamente
(0{,}751,\;1{,}572).
Passo 8
(c) Intervalo de confiança unilateral superior de 95\% para \sigma:
queremos um limite superior U tal que P(\sigma\le U)=0{,}95. A partir da distribuição qui-quadrado obtemos
U=\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha,\;n-1}}}
com \alpha=0{,}05 (quantil à esquerda).
Passo 9
Calcular numericamente (c):
para n-1=15 temos \chi^2_{0{,}05,\;15}=7{,}261 (valor da tabela). Então