12^{\underline{\mathbf{a}}} ) Sob certas condições econômicas, o ganho total do consumidor é representado pela área debaixo da curva de demanda e acima da reta y=y_{0}. Esta área é designada por Marshall como excedente do consumidor e é calculada por (sendo y=f(x) função de demanda):
\text { Excedente do consumidor }=\int_{0}^{x 0} f(x) d x-x_{0} y_{0}
Se a função de demanda é y=32+4 x-x^{2}, ache o excedente do consumidor se x_{0} é ponto crítico da função, isto é, é raiz de \mathrm{y}^{\prime}=0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o excedente do consumidor dado pela fórmula
\text{Excedente do consumidor}=\int_{0}^{x_0} f(x)\,dx - x_0 y_0
onde y=f(x) é a função de demanda. As informações dadas são:
A função de demanda é f(x)=32+4x-x^{2}.
x_0 é um ponto crítico de f, isto é, x_0 é raiz de f'(x)=0.
y_0 é o valor de f em x_0, isto é, y_0=f(x_0).
O que precisamos encontrar: o valor numérico do excedente do consumidor usando essas informações.
Passo 2
Vamos achar x_0 encontrando a derivada de f e resolvendo f'(x)=0.
Cálculo da derivada: aplicamos a regra básica que diz que a derivada de uma constante é 0, a derivada de ax é a e a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Assim,
Comentário curto: o resultado é negativo (-\dfrac{8}{3}), o que matematicamente significa que a área do retângulo x_0 y_0 é maior que a área sob a curva entre 0 e x_0 para este x_0. Pode ser estranho do ponto de vista econômico, mas a conta está correta conforme a definição e os dados fornecidos.