12^{\underline{\mathbf{a}}} ) Sob certas condições econômicas, o ganho total do consumidor é representado pela área debaixo da curva de demanda e acima da reta y=y_{0}. Esta área é designada por Marshall como excedente do consumidor e é calculada por (sendo y=f(x) função de demanda):
\text { Excedente do consumidor }=\int_{0}^{x 0} f(x) d x-x_{0} y_{0}
Se a função de demanda é y=32+4 x-x^{2}, ache o excedente do consumidor se x_{0} é ponto crítico da função, isto é, é raiz de \mathrm{y}^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o excedente do consumidor dado pela fórmula
\text{Excedente do consumidor}=\int_{0}^{x_0} f(x)\,dx - x_0 y_0
onde y=f(x) é a função de demanda. As informações dadas são:
  • A função de demanda é f(x)=32+4x-x^{2}.
  • x_0 é um ponto crítico de f, isto é, x_0 é raiz de f'(x)=0.
  • y_0 é o valor de f em x_0, isto é, y_0=f(x_0).
    O que precisamos encontrar: o valor numérico do excedente do consumidor usando essas informações.

Passo 2

Vamos achar x_0 encontrando a derivada de f e resolvendo f'(x)=0.
Cálculo da derivada: aplicamos a regra básica que diz que a derivada de uma constante é 0, a derivada de ax é a e a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Assim,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(32+4x-x^{2}\bigr)=0+4-2x=4-2x.
Agora resolvemos f'(x)=0:
4-2x=0 \implies 2x=4 \implies x=2.
Portanto x_0=2.

Passo 3

Agora calculamos y_0=f(x_0)=f(2). Substituímos x=2 na função:
f(2)=32+4\cdot 2 - 2^{2}=32+8-4=36.
Logo y_0=36.

Passo 4

Precisamos calcular a integral definida \int_{0}^{x_0} f(x)\,dx=\int_{0}^{2} (32+4x-x^{2})\,dx.
Integramos termo a termo usando as regras:
  • \int 32\,dx = 32x,
  • \int 4x\,dx = 2x^{2},
  • \int -x^{2}\,dx = -\dfrac{x^{3}}{3}.
Portanto a primitiva é
F(x)=32x+2x^{2}-\frac{x^{3}}{3}.
Avaliamo-la de 0 a 2:
\int_{0}^{2} (32+4x-x^{2})\,dx = F(2)-F(0).
Calculemos F(2):
F(2)=32\cdot 2 + 2\cdot 2^{2} - \frac{2^{3}}{3} = 64 + 8 - \frac{8}{3}.
Somando os termos inteiros primeiro: 64+8=72. Então
F(2)=72-\frac{8}{3}=\frac{216}{3}-\frac{8}{3}=\frac{208}{3}.
E F(0)=0. Logo
\int_{0}^{2} (32+4x-x^{2})\,dx = \frac{208}{3}.

Passo 5

Calculamos agora a área do retângulo x_0 y_0:
x_0 y_0 = 2\cdot 36 = 72.

Passo 6

Finalmente, aplicamos a fórmula do excedente:
\text{Excedente}=\int_{0}^{2} f(x)\,dx - 2\cdot 36 = \frac{208}{3}-72.
Escrevendo 72 com denominador 3: 72=\dfrac{216}{3}. Assim
\text{Excedente}=\frac{208}{3}-\frac{216}{3}=-\frac{8}{3}.
Comentário curto: o resultado é negativo ( -\dfrac{8}{3}), o que matematicamente significa que a área do retângulo x_0 y_0 é maior que a área sob a curva entre 0 e x_0 para este x_0. Pode ser estranho do ponto de vista econômico, mas a conta está correta conforme a definição e os dados fornecidos.

Resposta

-\dfrac{8}{3}

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