Questão: Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - Foi fornecida a tabela com integrais conhecidas; a fórmula útil aqui é
Nada mais é pedido além de encontrar uma primitiva (antiderivada).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz completando o quadrado — isso facilita reconhecer um caso
.
Calculemos:
Agora complete o quadrado em
:
Portanto
Conclusão: o radical é
.
Passo 3
Faça a substituição simples para limpar a expressão:
Expresse o numerador em
:
Substituindo na integral obtemos
Passo 4
Separe a integral em duas parcelas, que são mais fáceis:
Isto é válido pois integração é linear.
Passo 5
Calcule a primeira parcela
Use a substituição auxiliar
, então
, logo
. Assim
Integral de
é
, portanto
Voltando para
:
Passo 6
Calcule a segunda parcela usando a fórmula da tabela (fórmula 2 com
):
(Explicação rápida: a forma é
. Aqui
, então
.)
Passo 7
Some as duas parcelas e volte à variável
:
Substituindo
e lembrando que
, obtemos
Passo 8
Verificação rápida por diferenciação (para ficar seguro): derivando
temos
que é exatamente o integrando. Tudo conferido.