4^{\mathrm{a}} Questão: Calcule \int \frac{x+3}{\sqrt{5-4 x-x^{2}}}
\begin{array}{ll} \text { 1. } \int \frac{d u}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg}\left(\frac{u}{a}\right)+c & \text { 2. } \int \frac{d u}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\operatorname{arcsen}\left(\frac{u}{a}\right)+c \quad \text { 3. } \int \frac{d u}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{u-a}{u+a}\right|+c \\ \text { 4. } \int \frac{d u}{a^{2}-u^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+u}{u-a}\right|+c & \text { 5. } \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2} \pm a^{2}}}=\ln \left|u+\sqrt{u^{2} \pm a^{2}}\right|+c \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4x-x^{2}}}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é \dfrac{x+3}{\sqrt{5-4x-x^{2}}}.
  • Foi fornecida a tabela com integrais conhecidas; a fórmula útil aqui é
\int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Nada mais é pedido além de encontrar uma primitiva (antiderivada).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz completando o quadrado — isso facilita reconhecer um caso \sqrt{a^{2}-(\cdot)^{2}}.
Calculemos:
5-4x-x^{2} = -(x^{2}+4x-5).
Agora complete o quadrado em x^{2}+4x-5:
x^{2}+4x-5 = (x+2)^{2}-4-5 = (x+2)^{2}-9.
Portanto
5-4x-x^{2} = -\bigl((x+2)^{2}-9\bigr) = 9-(x+2)^{2}.
Conclusão: o radical é \sqrt{9-(x+2)^{2}}.

Passo 3

Faça a substituição simples para limpar a expressão:
u = x+2 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
Expresse o numerador em u:
x+3 = (u-2)+3 = u+1.
Substituindo na integral obtemos
\int \frac{x+3}{\sqrt{5-4x-x^{2}}}\,dx = \int \frac{u+1}{\sqrt{9-u^{2}}}\,du.

Passo 4

Separe a integral em duas parcelas, que são mais fáceis:
\int \frac{u+1}{\sqrt{9-u^{2}}}\,du = \int \frac{u}{\sqrt{9-u^{2}}}\,du \;+\; \int \frac{1}{\sqrt{9-u^{2}}}\,du.
Isto é válido pois integração é linear.

Passo 5

Calcule a primeira parcela
\int \frac{u}{\sqrt{9-u^{2}}}\,du.
Use a substituição auxiliar w=9-u^{2}, então dw=-2u\,du, logo u\,du=-\tfrac{1}{2}dw. Assim
\int \frac{u}{\sqrt{9-u^{2}}}\,du = -\tfrac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw.
Integral de w^{-1/2} é 2w^{1/2}, portanto
-\tfrac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\tfrac{1}{2}\cdot 2 w^{1/2} = -\sqrt{w}.
Voltando para u:
\int \frac{u}{\sqrt{9-u^{2}}}\,du = -\sqrt{9-u^{2}}.

Passo 6

Calcule a segunda parcela usando a fórmula da tabela (fórmula 2 com a=3):
\int \frac{1}{\sqrt{9-u^{2}}}\,du = \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{u}{3}\right) + C.
(Explicação rápida: a forma é \int \dfrac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\arcsin(u/a)+C. Aqui a^{2}=9, então a=3.)

Passo 7

Some as duas parcelas e volte à variável x:
\int \frac{u+1}{\sqrt{9-u^{2}}}\,du = -\sqrt{9-u^{2}} + \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{u}{3}\right) + C.
Substituindo u=x+2 e lembrando que 9-(x+2)^{2}=5-4x-x^{2}, obtemos
\boxed{-\sqrt{5-4x-x^{2}} + \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{x+2}{3}\right) + C.}

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação (para ficar seguro): derivando
F(x)=-\sqrt{9-(x+2)^{2}}+\arcsin\!\left(\frac{x+2}{3}\right)
temos
F'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{9-(x+2)^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{9-(x+2)^{2}}}=\frac{x+3}{\sqrt{9-(x+2)^{2}}}=\frac{x+3}{\sqrt{5-4x-x^{2}}},
que é exatamente o integrando. Tudo conferido.

Resposta

-\sqrt{5-4x-x^{2}}+\operatorname{arcsen}\!\left(\dfrac{x+2}{3}\right)+C

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