Encontre a área entre as curvas:
y=6-x e y=x^{2}+4 x

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas y=6-x e y=x^{2}+4x.
Informações dadas: as duas funções explícitas em termos de x são \,y=6-x, (reta) e \,y=x^{2}+4x, (parábola).
A tarefa é encontrar a região limitada por essas duas curvas e calcular a área dessa região no plano.

Passo 2

Primeiro passo concreto: achar os pontos de interseção (os limites em x da região). Esses pontos satisfazem
6-x = x^{2}+4x.
Coloco tudo em um lado para formar uma equação quadrática:
0 = x^{2}+4x + x -6 = x^{2}+5x-6.
Agora fatoro a quadrática (procuro fatores de -6 que somem 5): (x+6)(x-1)=0. Portanto as raízes são
x=-6\quad\text{e}\quad x=1.
Esses são os pontos de interseção em x.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está por cima entre x=-6 e x=1 (para integrar “topo − base”). Uma forma simples é testar um x entre os pontos, por exemplo x=0. Calculamos os ys:
y_{\text{reta}}(0)=6-0=6,\qquad y_{\text{parábola}}(0)=0^{2}+4\cdot0=0.á
Como 6>0, a reta y=6-x está acima da parábola y=x^{2}+4x no intervalo entre as interseções. Logo a altura da região em cada x é (6-x) - (x^{2}+4x).

Passo 4

A área A entre as curvas de x=-6 até x=1 é dada pela integral definida do topo menos a base:
A = \int_{-6}^{1} \bigl[(6-x) - (x^{2}+4x)\bigr]\,dx.
Simplifico a integranda:
(6-x) - (x^{2}+4x) = 6 -5x - x^{2}.
Então
A = \int_{-6}^{1} \bigl(6 -5x - x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Breve aula rápida sobre integração usada aqui: para uma soma de termos, integramos termo a termo; para uma potência x^{n} (com n\neq -1) a antiderivada é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Também usamos que a antiderivada de uma constante c é cx. Aplicando essas regras:
\int \bigl(6 -5x - x^{2}\bigr)\,dx = 6x - \frac{5}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} + C,
onde C é a constante de integração (não necessária em integrais definidas, mas aparece na antiderivada).

Passo 6

Agora avalio a antiderivada nos limites x=1 e x=-6. Chamo a antiderivada de F(x)=6x - \dfrac{5}{2}x^{2} - \dfrac{1}{3}x^{3}. Calculo F(1):
F(1)=6\cdot1 - \frac{5}{2}\cdot1^{2} - \frac{1}{3}\cdot1^{3} = 6 - \frac{5}{2} - \frac{1}{3}.
Para somar como frações com denominador comum 6:
6 = \frac{36}{6},\quad \frac{5}{2}=\frac{15}{6},\quad \frac{1}{3}=\frac{2}{6},
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F(1)=\frac{36}{6}-\frac{15}{6}-\frac{2}{6}=\frac{19}{6}.

Passo 7

Calculo F(-6). Primeiro os termos:
6(-6)=-36,\qquad -\frac{5}{2}(-6)^{2}=-\frac{5}{2}\cdot36=-90,\qquad -\frac{1}{3}(-6)^{3}=-\frac{1}{3}\cdot(-216)=+72.
Somando:
F(-6) = -36 -90 +72 = -54.

Passo 8

A área é A=F(1)-F(-6). Substituo os valores encontrados:
A = \frac{19}{6} - (-54) = \frac{19}{6} + 54.
Escrevo 54 como fração sobre 6: 54=\dfrac{324}{6}. Então
A = \frac{19}{6} + \frac{324}{6} = \frac{343}{6}.
Como decimal, isto é aproximadamente 57{,}166\ldots.

Resposta

\displaystyle \frac{343}{6}

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