Encontre a área entre as curvas:
e
Passo 1
O enunciado pede a área entre as curvas
e
.
Informações dadas: as duas funções explícitas em termos de são
, (reta) e
, (parábola).
A tarefa é encontrar a região limitada por essas duas curvas e calcular a área dessa região no plano.
Informações dadas: as duas funções explícitas em termos de
A tarefa é encontrar a região limitada por essas duas curvas e calcular a área dessa região no plano.
Passo 2
Primeiro passo concreto: achar os pontos de interseção (os limites em
da região). Esses pontos satisfazem
Coloco tudo em um lado para formar uma equação quadrática:
Agora fatoro a quadrática (procuro fatores de
que somem
):
. Portanto as raízes são
Esses são os pontos de interseção em
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está por cima entre
e
(para integrar “topo − base”). Uma forma simples é testar um
entre os pontos, por exemplo
. Calculamos os
s:
Como
, a reta
está acima da parábola
no intervalo entre as interseções. Logo a altura da região em cada
é
.
Passo 4
A área
entre as curvas de
até
é dada pela integral definida do topo menos a base:
Simplifico a integranda:
Então
Passo 5
Breve aula rápida sobre integração usada aqui: para uma soma de termos, integramos termo a termo; para uma potência
(com
) a antiderivada é
. Também usamos que a antiderivada de uma constante
é
. Aplicando essas regras:
onde
é a constante de integração (não necessária em integrais definidas, mas aparece na antiderivada).
Passo 6
Agora avalio a antiderivada nos limites
e
. Chamo a antiderivada de
. Calculo
:
Para somar como frações com denominador comum
:
logo
Passo 7
Calculo
. Primeiro os termos:
Somando:
Passo 8
A área é
. Substituo os valores encontrados:
Escrevo
como fração sobre
:
. Então
Como decimal, isto é aproximadamente
.