R-12 é usado como refrigerante para produzir 210 kW de refrigeração em uma instalação frigorífica. As temperaturas do evaporador e do condensador são -24 e 30^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Para as condições abaixo qual a potência de compressão para:
a) Sistema operando de acordo com ciclo Padrão de compressão de Vapor
b) Sistema operando com resfriamento intermediário a pressão de 430 kPa

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado).
  • Refrigerante: R-12.
  • Capacidade frigorífica (refrigeração desejada): \dot{Q}_L = 210\\ \text{kW}.
  • Temperatura do evaporador: T_{evap} = -24^\circ\text{C}.
  • Temperatura do condensador: T_{cond} = 30^\circ\text{C}.
  • Perguntas:
    a) Qual a potência de compressão quando o sistema opera segundo o ciclo padrão de compressão de vapor (uma etapa de compressão, sem intercooling)?
    b) Qual a potência de compressão quando o sistema opera com resfriamento intermediário à pressão p_i = 430\\ \text{kPa} (compressão em duas etapas com intercooling ideal àquela pressão)?
Observação importante (do enunciado): não foram fornecidas tabelas de propriedades termodinâmicas do R-12 (pressões de saturação, entalpias e entropias nas temperaturas dadas). Para calcular numericamente as potências é necessário obter essas propriedades em tabelas ou em um software de propriedades (REFPROP, CoolProp, livros de máquina térmica).

Passo 2

Explicação do ciclo padrão (uma etapa) — definição de estados e fórmulas essenciais.
  • Convenção de estados (padrão didático):
    • Estado 1: saída do evaporador / entrada do compressor — vapor saturado a T_{evap}. Entalpia h_1, entropia s_1.
    • Estado 2: saída do compressor — vapor a pressão de condensação p_{cond}=p_{sat}(T_{cond}) (superaquecido). Entalpia h_2.
    • Estado 3: saída do condensador — líquido saturado a T_{cond}. Entalpia h_3 = h_f(T_{cond}).
    • Estado 4: saída da válvula de expansão (após estrangulamento) — mistura à pressão do evaporador; por expansão isentrópica? não — expansão isenthalpica, então h_4 = h_3.
  • Fórmulas que o ciclo usa:
    • Efeito frigorífico por unidade de massa (capacidade por kg): q_L = h_1 - h_4 = h_1 - h_3.Explicação: h_1 é a entalpia do vapor que entra no evaporador e entrega calor ao fluido que se quer refrigerar; h_3 é a entalpia do líquido após o condensador que, depois de expandido, entra no evaporador. A diferença é o calor absorvido no evaporador por kg.
    • Vazão mássica necessária: \dot{m} = \frac{\dot{Q}_L}{q_L} = \frac{\dot{Q}_L}{h_1-h_3}.Explicação: para obter \dot{Q}_L de potência frigorífica, precisamos de \dot{m} kg/s vezes o efeito frigorífico por kg.
    • Compressão isentrópica ideal (assunção padrão): assumimos compressão reversível adiabática (isentrópica). Assim, durante a compressão ideal: s_2 = s_1com p_2 = p_{cond}. Procuramos na tabela de R-12 a entalpia h_2 para a pressão p_{cond} e entropia s_1 (isto é, o ponto superaquecido em p_{cond} com s = s_1).
    • Trabalho do compressor por kg (ideal/isentrópico): w_{comp} = h_2 - h_1.
    • Potência do compressor: \dot{W} = \dot{m}\, w_{comp} = \dot{Q}_L \frac{h_2 - h_1}{h_1 - h_3}.Observação: esta fórmula compacta é muito útil — ela dá a potência diretamente a partir de \dot{Q}_L e das entalpias obtidas nas tabelas.
    • Coeficiente de desempenho (COP): COP = \frac{\dot{Q}_L}{\dot{W}} = \frac{h_1 - h_3}{h_2 - h_1}.

Passo 3

O que precisa ser buscado nas tabelas do R-12 para resolver (a) numericamente — e como extrair esses valores.
  • Calcular as pressões de saturação correspondentes às temperaturas dadas:
    • p_{evap} = p_{sat}(T_{evap} = -24^\circ\text{C}).
    • p_{cond} = p_{sat}(T_{cond} = 30^\circ\text{C}).
      (essas duas pressões são só para referência; as entalpias e entropias são o que realmente entrará nas fórmulas).
  • Entradas na tabela que você deve ler:
    • h_1 = h_g(T_{evap}) — entalpia do vapor saturado à temperatura do evaporador (estado 1).
    • s_1 = s_g(T_{evap}) — entropia do vapor saturado à temperatura do evaporador (usada para compressão isentrópica).
    • h_3 = h_f(T_{cond}) — entalpia do líquido saturado à temperatura do condensador (estado 3; igual a h_4 depois da expansão isentrópica/isentálpica).
    • Para achar h_2: procurar na tabela (ou tabela de vapor superaquecido) a entalpia correspondente a pressão p_{cond} com entropia s = s_1. Em outras palavras, encontre o ponto superaquecido em p_{cond} tal que s=h^{-1}(\cdot) — ou, na prática, use a tabela de vapor superaquecido de R-12 para p=p_{cond} e procure a linha com s igual (ou interpole) a s_1 para obter h_2.
  • Depois de obter h_1,h_2,h_3, aplicar as fórmulas do Passo 2:
    • \dot{m} = \dfrac{210}{h_1-h_3} [kW/(kJ/kg) = kg/s] (atenção às unidades: \text{kW} = \text{kJ/s}, entalpias em \text{kJ/kg}).
    • \dot{W} = \dot{m} (h_2 - h_1) [kW].
Importante: sem estes valores da tabela de R-12 não é possível calcular numericamente \dot{W}.

Passo 4

Explicação do caso (b): duas etapas de compressão com resfriamento intermediário ideal na pressão p_i = 430\\ \text{kPa}. Modelo adotado (assunções que normalmente se usam em provas):
  • Assunções para análise didática:
    1. Compressões são ideais (isentrópicas) nas duas etapas.
    2. Intercooling (resfriamento intermediário) é perfeito e ocorre à pressão intermediária p_i = 430\\ \text{kPa}. O resfriamento é feito até que o vapor fique saturado àquela pressão (isto é, após intercooler o fluido está em vapor saturado na pressão p_i; essa é uma assunção comum para simplificar a análise).
    3. Não há ganho/perda de massa entre as etapas (fluxo mássico único passa por ambas as etapas — isto é, não estamos considerando um flash-separator que dividiria a massa).
    4. Não há sub-resfriamento no condensador nem superaquecimento extra no evaporador além do especificado.
  • Definição de estados (nova numeração para clareza):
    • Estado 1: entrada do 1º compressor — vapor saturado a T_{evap} (igual ao caso monoetapa). h_1,s_1.
    • Estado 2s: saída ideal do 1º compressor (após compressão isentrópica de p_{evap} até p_i). Entalpia h_{2s} (a entalpia do vapor imediatamente após o 1ª etapa, antes do resfriamento).
    • Estado 2’: após intercooler à pressão p_i: vapor saturado à pressão p_i (então h_{2'} = h_g(p_i)).
    • Estado 3s: saída ideal do 2º compressor — compressão isentrópica de p_i até p_{cond}. Entalpia h_3 (saída final do compressor multiestágio).
    • Condensador e expansão: estado líquido saturado no condensador com entalpia h_4 = h_3^{(liq)} = h_f(T_{cond}) como antes, e expansão isenthalpica para entrar no evaporador.
  • Obras por kg:
    • Trabalho 1ª etapa (ideal): w_1 = h_{2s} - h_1.
    • Depois do resfriamento o fluido reduz entalpia de h_{2s} para h_{2'} (isso é exatamente o que o intercooler faz; esse calor é rejeitado ao ambiente do intercooler).
    • Trabalho 2ª etapa (ideal): w_2 = h_3 - h_{2'}.
    • Trabalho total por kg: w_{total} = w_1 + w_2 = (h_{2s} - h_1) + (h_3 - h_{2'}).
  • Vazão mássica é a mesma equação do caso único (o efeito por kg não mudou com a presença da segunda etapa, porque a expansão e a entrada no evaporador são as mesmas): q_L = h_1 - h_4 = h_1 - h_f(T_{cond}).Logo \dot{m} = \dfrac{\dot{Q}_L}{h_1-h_f(T_{cond})}.
  • Potência total do conjunto de compressores: \dot{W}_{2\text{st}} = \dot{m}\, w_{total} = \dot{Q}_L \frac{(h_{2s} - h_1) + (h_3 - h_{2'})}{h_1 - h_f(T_{cond})}.
  • Como obter os h's nas tabelas:
    • h_1 = h_g(T_{evap}) e s_1 = s_g(T_{evap}).
    • Para h_{2s}: procurar, na tabela de vapor superaquecido de R-12 à pressão p_i, o ponto com entropia s = s_1; aí lê-se h_{2s}.
    • Para h_{2'}: é simplesmente h_g na pressão p_i (entalpia do vapor saturado a p_i).
    • Para h_3: procurar, na tabela de vapor superaquecido de R-12 à pressão p_{cond}, o ponto com entropia s = s_{2'}. Note que s_{2'} é a entropia do vapor saturado em p_i: s_{2'} = s_g(p_i). Com s_{2'} e p_{cond} encontra-se h_3 por interpolação na tabela de superaquecido.
  • Comentário sobre escolha de p_i: a pressão intermediária ótima (para trabalho mínimo com intercooling perfeito) é aproximadamente a média geométrica das pressões de evaporação e condensação: p_{i,opt} \approx \sqrt{p_{evap}\, p_{cond}}.No entanto, aqui o enunciado já fixou p_i = 430\\ \text{kPa}; ainda vale a lista de passos acima para calcular numericamente.

Passo 5

Resumo prático dos passos de cálculo numérico que você deve executar com uma tabela/softwares de propriedades do R-12 (passo a passo “mão na massa”) — isto é o que se faz na prova, com interpolação quando necessário:
Para (a) ciclo padrão (uma etapa):
  1. Ler na tabela R-12:
    • h_1 = h_g(T_{evap}=-24^\circ\text{C}).
    • s_1 = s_g(T_{evap}).
    • h_3 = h_f(T_{cond}=30^\circ\text{C}).
  2. Determinar h_2 encontrando na tabela de superaquecido à pressão p_{cond}=p_{sat}(30^\circ\text{C}) o ponto com s=s_1 (interpolar se necessário).
  3. Calcular:
    • q_L = h_1 - h_3.
    • \dot{m} = 210 / q_L.
    • \dot{W} = \dot{m} (h_2 - h_1).
    • Opcional: COP = (h_1-h_3)/(h_2-h_1).
Para (b) duas etapas com intercooling a p_i=430\\ \text{kPa}:
  1. Ler na tabela R-12:
    • h_1 = h_g(T_{evap}), s_1 = s_g(T_{evap}).
    • h_{2'} = h_g(p_i) (entalpia do vapor saturado à pressão intermediária).
    • s_{2'} = s_g(p_i) (entropia do vapor saturado à pressão intermediária).
    • h_3 = h_f(T_{cond}) (como antes).
  2. Encontrar:
    • h_{2s}: na tabela de superaquecido à pressão p_i achar o ponto com entropia s_1 (compressão ideal 1ª etapa).
    • h_3 (já mencionado): depois, achar o entalpia na saída da 2ª etapa compressiva: na tabela de superaquecido à pressão p_{cond}, procurar o ponto com entropia s_{2'} para obter h_3 (compressão ideal 2ª etapa).
  3. Calcular:
    • q_L = h_1 - h_3 (mesmo que no caso único).
    • \dot{m} = 210 / q_L.
    • w_{total} = (h_{2s}-h_1) + (h_3 - h_{2'}).
    • \dot{W}_{2\text{st}} = \dot{m}\, w_{total}.
    • Opcional: comparar \dot{W}_{2\text{st}} com \dot{W} do caso (a) para ver a economia de trabalho.

Passo 6

Por que eu NÃO forneci números numéricos aqui — explicitação do impedimento e o que você deve fazer agora (passos práticos imediatos).
  • Motivo do impedimento: é obrigatório usar as propriedades termodinâmicas do refrigerante R-12 (entalpias e entropias em pontos de saturação e de superaquecido) para avaliar h_1,h_2,h_3,h_{2s},h_{2'} etc. Essas propriedades não foram fornecidas no enunciado e não posso inventá‑las; tabelas/softwares são necessários para valores numéricos precisos. Inventar valores levaria a respostas incorretas e pode atrapalhar na prova.
  • O que você precisa fazer agora (rápido e prático):
    1. Pegue a tabela de propriedades termodinâmicas do R-12 (livro de termodinâmica, anexo do enunciado da prova, ou software como CoolProp/REFPROP).
    2. Siga os passos detalhados no Passo 5 para (a) e (b), interpolando nas tabelas quando necessário.
    3. Se quiser, me passe os valores que você extraiu da tabela (por exemplo: h_1=..., s_1=..., h_3=..., p_{evap}=..., p_{cond}=..., etc.) e eu faço rapidamente as contas (massa, potências, COP, comparação entre (a) e (b)) passo a passo e te explico as interpolations se precisar.
Força: esse problema é um clássico de máquina térmica e a sequência de passos é sempre a mesma — uma vez que você tiver as entalpias/entropias, as contas são diretas. Se você estiver com a tabela à mão eu resolvo num piscar de olhos.

Resposta

Não é possível fornecer os valores numéricos de potência do compressor porque faltam as propriedades termodinâmicas do R-12 (entalpia e entropia nos estados necessários). Siga os passos descritos para extrair h_1,h_3,h_2 (caso a) e h_{2s},h_{2'},h_3 (caso b) das tabelas de R-12; então aplique as fórmulas
\dot{W}_{(a)}=\dot{Q}_L\frac{h_2-h_1}{h_1-h_3} \quad\text{e}\quad \dot{W}_{(b)}=\dot{Q}_L\frac{(h_{2s}-h_1)+(h_3-h_{2'})}{h_1-h_3}.
Se você me enviar os valores de entalpia/entropia extraídos da tabela, eu calculo numericamente as potências e te mostro cada interpolação e conta.

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