2.4.6 Suponha que você multiplique 3,84 vezes 0,36 , de modo a conseguir 1,3824 . Avalie o erro relativo máximo em (a) cada número e (b) no produto. Se você adicionar os erros relativos nos dois números, a soma será a mesma que o erro relativo em seu produto?
Passo 1
O enunciado diz que se multiplicou
, por
, e obteve-se o produto
. As perguntas são:
- (a) qual é o erro relativo máximo em cada número (
e )? - (b) qual é o erro relativo máximo no produto?
- Se somarmos os erros relativos dos dois fatores, essa soma é igual ao erro relativo do produto?
Informações relevantes que pegamos do enunciado:
- Os números
e estão escritos com duas casas decimais, portanto a unidade da última casa é . - Quando um número é arredondado a duas casas decimais, o erro absoluto máximo (devido ao arredondamento) é metade da unidade da última casa, isto é
.
Passo 2
Explicando o conceito que vamos usar (meio dígito):
Se um número é dado com precisão até a casa (duas casas decimais), o erro absoluto devido ao arredondamento satisfaz
Se um número é dado com precisão até a casa
O erro relativo máximo é então
Vamos aplicar isso a cada número.
Passo 3
Erro relativo máximo para
.
- Erro absoluto máximo:
(peguei essa informação do fato de que tem duas casas decimais). - Portanto o erro relativo máximo é
Faço a conta exatamente usando frações:
, então
Em decimal isso vale aproximadamente
Passo 4
Erro relativo máximo para
.
- Erro absoluto máximo:
(peguei isso porque também tem duas casas decimais). - Então
Usando frações:
, logo
Em decimal isso é
Passo 5
Como o erro nos fatores propaga para o produto? (aula curta e prática)
Se os valores verdadeiros forem
e
e os valores arredondados forem
e
, escrevemos
O verdadeiro produto é
A diferença entre o produto verdadeiro e o produto calculado
é
Dividindo por
obtemos a expressão para o erro relativo do produto:
Tomando valores máximos em módulo (e lembrando que os erros de arredondamento têm sinais que podem piorar o resultado se forem do mesmo sinal), uma cota superior para o erro relativo máximo do produto é
Essa fórmula mostra por que, em primeira aproximação, costuma-se somar os erros relativos (os dois primeiros termos); o terceiro termo é o produto dos dois erros relativos e é geralmente menor (segunda ordem).
Passo 6
Calcular numericamente o erro relativo máximo do produto usando os valores que achamos.
Temos
e
. Então
Somando exatamente como fração:
Para referência, a soma simples dos dois erros relativos é
A diferença entre a cota exata e a soma simples é justamente o termo de segunda ordem
Passo 7
Interpretação final e resposta à última pergunta (motivação para a prova):
- Os erros relativos dos fatores são pequenos; quando se multiplica, o erro relativo do produto é aproximadamente a soma dos erros relativos dos fatores, mas não exatamente — falta o termo de segunda ordem
. - Para a maioria dos propósitos práticos (se os erros são bem pequenos) pode-se aproximar
. Mas se precisar de uma cota rigorosa, use .
Força aí — você já tem os números exatos e sabe como justificar a resposta na prova.
Resposta
(a) Erro relativo máximo em
:
(≈
)
(a) Erro relativo máximo em :
(≈
)
(b) Erro relativo máximo no produto: (≈
)
Não: a soma não é exatamente igual a
; falta o termo de segunda ordem
.
(a) Erro relativo máximo em
(b) Erro relativo máximo no produto:
Não: a soma