2.4.6 Suponha que você multiplique 3,84 vezes 0,36 , de modo a conseguir 1,3824 . Avalie o erro relativo máximo em (a) cada número e (b) no produto. Se você adicionar os erros relativos nos dois números, a soma será a mesma que o erro relativo em seu produto?

Passo 1

O enunciado diz que se multiplicou \,3{,}84, por \,0{,}36, e obteve-se o produto \,1{,}3824. As perguntas são:
  • (a) qual é o erro relativo máximo em cada número ( 3{,}84 e 0{,}36)?
  • (b) qual é o erro relativo máximo no produto?
  • Se somarmos os erros relativos dos dois fatores, essa soma é igual ao erro relativo do produto?
Informações relevantes que pegamos do enunciado:
  • Os números 3{,}84 e 0{,}36 estão escritos com duas casas decimais, portanto a unidade da última casa é \,0{,}01.
  • Quando um número é arredondado a duas casas decimais, o erro absoluto máximo (devido ao arredondamento) é metade da unidade da última casa, isto é \,0{,}005.

Passo 2

Explicando o conceito que vamos usar (meio dígito):
Se um número é dado com precisão até a casa 10^{-2} (duas casas decimais), o erro absoluto devido ao arredondamento satisfaz
|\Delta x|\le 0{,}005.
O erro relativo máximo é então
\text{erro relativo máximo}=\frac{|\Delta x|_{\max}}{|x|}.á
Vamos aplicar isso a cada número.

Passo 3

Erro relativo máximo para \,3{,}84.
  • Erro absoluto máximo: |\Delta a|_{\max}=0{,}005 (peguei essa informação do fato de que \,3{,}84 tem duas casas decimais).
  • Portanto o erro relativo máximo é
r_a=\frac{0{,}005}{3{,}84}.
Faço a conta exatamente usando frações: \,3{,}84=\dfrac{384}{100}, então
r_a=\frac{0{,}005}{3{,}84}=\frac{5/1000}{384/100}=\frac{5}{3840}=\frac{1}{768}.
Em decimal isso vale aproximadamente
r_a=\frac{1}{768}\approx 0{,}0013020833\quad(\text{ou }0{,}13020833\%).

Passo 4

Erro relativo máximo para \,0{,}36.
  • Erro absoluto máximo: |\Delta b|_{\max}=0{,}005 (peguei isso porque \,0{,}36 também tem duas casas decimais).
  • Então
r_b=\frac{0{,}005}{0{,}36}.
Usando frações: \,0{,}36=\dfrac{36}{100}, logo
r_b=\frac{5/1000}{36/100}=\frac{5}{360}=\frac{1}{72}.
Em decimal isso é
r_b=\frac{1}{72}\approx 0{,}0138888889\quad(\text{ou }1{,}38888889\%).

Passo 5

Como o erro nos fatores propaga para o produto? (aula curta e prática)
Se os valores verdadeiros forem A e B e os valores arredondados forem a=3{,}84 e b=0{,}36, escrevemos
A=a+\Delta a,\qquad B=b+\Delta b.
O verdadeiro produto é
P=AB=(a+\Delta a)(b+\Delta b)=ab + a\Delta b + b\Delta a + \Delta a\,\Delta b.
A diferença entre o produto verdadeiro e o produto calculado ab é
\Delta p = P-ab = a\Delta b + b\Delta a + \Delta a\,\Delta b.
Dividindo por ab obtemos a expressão para o erro relativo do produto:
\frac{\Delta p}{ab}=\frac{\Delta a}{a}+\frac{\Delta b}{b}+\frac{\Delta a}{a}\cdot\frac{\Delta b}{b}.
Tomando valores máximos em módulo (e lembrando que os erros de arredondamento têm sinais que podem piorar o resultado se forem do mesmo sinal), uma cota superior para o erro relativo máximo do produto é
r_p \le r_a + r_b + r_a r_b.
Essa fórmula mostra por que, em primeira aproximação, costuma-se somar os erros relativos (os dois primeiros termos); o terceiro termo é o produto dos dois erros relativos e é geralmente menor (segunda ordem).

Passo 6

Calcular numericamente o erro relativo máximo do produto usando os valores que achamos.
Temos \,r_a=\dfrac{1}{768} e \,r_b=\dfrac{1}{72}. Então
r_p \le r_a + r_b + r_a r_b = \frac{1}{768}+\frac{1}{72}+\frac{1}{768\cdot72}.
Somando exatamente como fração:
r_p = \frac{841}{55296}\approx 0{,}015209057\quad(\text{ou }1{,}5209057\%).
Para referência, a soma simples dos dois erros relativos é
r_a + r_b = \frac{1}{768}+\frac{1}{72}=\frac{840}{55296}\approx 0{,}015190972\quad(\text{ou }1{,}5190972\%).
A diferença entre a cota exata e a soma simples é justamente o termo de segunda ordem
r_a r_b=\frac{1}{55296}\approx 0{,}0000180859\quad(\text{ou }0{,}00180859\%).

Passo 7

Interpretação final e resposta à última pergunta (motivação para a prova):
  • Os erros relativos dos fatores são pequenos; quando se multiplica, o erro relativo do produto é aproximadamente a soma dos erros relativos dos fatores, mas não exatamente — falta o termo de segunda ordem r_a r_b.
  • Para a maioria dos propósitos práticos (se os erros são bem pequenos) pode-se aproximar r_p\approx r_a + r_b. Mas se precisar de uma cota rigorosa, use r_p \le r_a + r_b + r_a r_b.
Força aí — você já tem os números exatos e sabe como justificar a resposta na prova.

Resposta

(a) Erro relativo máximo em 3{,}84: r_a=\dfrac{1}{768}\approx 0{,}0013020833 (≈ 0{,}13020833\%)
(a) Erro relativo máximo em 0{,}36: r_b=\dfrac{1}{72}\approx 0{,}0138888889 (≈ 1{,}38888889\%)
(b) Erro relativo máximo no produto: r_p \le r_a+r_b+r_a r_b=\dfrac{841}{55296}\approx 0{,}015209057 (≈ 1{,}5209057\%)
Não: a soma r_a+r_b não é exatamente igual a r_p; falta o termo de segunda ordem r_a r_b.

Exercícios relacionados