2.9) A 120-\mathrm{V}: 2400-\mathrm{V}, 60-\mathrm{Hz}, 50-\mathrm{kVA} transformer has a magnetizing reactance (as measured from the 120-\mathrm{V} terminals) of 34.6 ohms. The 120-\mathrm{V} winding has a leakage reactance of 27.4 ohms and the 2400-\mathrm{V} winding has a leakage reactance of 11.2 ohms.
a. With the secondary open-circuited and 120 V applied to the primary (120-\mathrm{V}) winding, calculate the primary current and the secondary voltage.
b. With the secondary short-circuited, calculate the primary voltage which will result in rated current in the primary winding.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
  • Tensão nominal do enrolamento primário: 120\\ \mathrm{V}.
  • Tensão nominal do enrolamento secundário: 2400\\ \mathrm{V}.
  • Frequência: 60\\ \mathrm{Hz} (não será necessária explicitamente nos cálculos aqui).
  • Potência aparente nominal: 50\\ \mathrm{kVA}.
  • Reatância magnetizante (medida a partir dos terminais de 120\\ \mathrm{V}): X_m = 34{,}6\\ \Omega.
  • Reatância de fuga do enrolamento de 120\\ \mathrm{V}: X_1 = 27{,}4\\ \Omega.
  • Reatância de fuga do enrolamento de 2400\\ \mathrm{V}: X_2 = 11{,}2\\ \Omega.
O enunciado pede:
a) Com o secundário em circuito aberto e 120\\ \mathrm{V} aplicados ao primário, calcular a corrente no primário e a tensão no secundário.
b) Com o secundário em curto-circuito, calcular a tensão aplicada ao primário que resultará na corrente nominal do primário.

Passo 2

Entendendo (didaticamente) o caso da parte (a): secundário em circuito aberto.
  • Quando o secundário está aberto não há corrente de carga no secundário, logo a corrente que circula no primário é apenas a corrente magnetizante que cria o fluxo no núcleo.
  • O enunciado informou X_m “medida dos terminais de 120\\ \mathrm{V}”, isto significa que, para o cálculo da corrente de magnetização, podemos usar diretamente X_m como a reatância que está ligada aos terminais onde aplicamos 120\\ \mathrm{V}. Assim a queda de tensão relevante para produzir fluxo é a própria tensão aplicada de 120\\ \mathrm{V}.
Fórmula usada e significado das variáveis:
I_m = \frac{V_1}{X_m},
onde I_m é a corrente magnetizante (corrente primária com secundário aberto), V_1 é a tensão aplicada ao primário (aqui 120\\ \mathrm{V}) e X_m é a reatância magnetizante referida aos terminais do primário.

Passo 3

Cálculo da corrente primária (parte a).
I_m = \frac{V_1}{X_m}=\frac{120}{34{,}6}\\ \mathrm{A}.
Efetuando a divisão:
I_m \approx 3{,}468\\ \mathrm{A}.
Como é corrente através de uma reatância indutiva, a corrente está defasada de 90^\circ em relação à tensão (ou seja, corrente em atraso de 90^\circ). Para arredondamento prático:
I_m \approx 3{,}47\\ \mathrm{A}\quad(\text{defasada }90^\circ).

Passo 4

Cálculo da tensão no secundário (parte a).
  • Com o secundário em aberto não há queda de tensão por corrente de carga nas reatâncias de fuga, e a tensão induzida no enrolamento secundário é dada pela relação de espiras/tensões ideal. A razão de transformação (em magnitude) é:
\text{razão} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{V_2}{V_1} = \frac{2400}{120} = 20.ã
Portanto a tensão no secundário, com V_1=120\\ \mathrm{V}, é
V_2 = 20\cdot 120 = 2400\\ \mathrm{V}.
(O secundário, estando aberto, fornece a tensão de vazio proporcional à relação de espiras.)

Passo 5

Entendendo (didaticamente) o caso da parte (b): secundário em curto-circuito.
  • Com o secundário em curto, a corrente que circulará será limitada pelas reatâncias de fuga em série (do primário e a reatância do secundário referida ao primário). A corrente de magnetização é desprezível aqui porque a tensão necessária para estabelecer grandes correntes é pequena e a componente de magnetização fica muito pequena em comparação com as correntes de curto. Por isso, para o cálculo da tensão que provoca uma certa corrente de curto, normalmente se despreza X_m.
  • Precisamos encontrar a tensão V_{1,SC} aplicada ao primário que faça com que a corrente no primário tenha o valor nominal I_{1,\text{nom}}.
Passos a seguir:
  1. Calcular a corrente nominal do primário a partir de S e da tensão nominal do primário.
  2. Referir a reatância do secundário ao lado do primário usando a relação de espiras.
  3. Somar as reatâncias de fuga (primária + secundária referida) para obter a reatância equivalente em série vista pelo primário.
  4. Usar V = I\cdot X_{\text{eq}} (magnitudes) para obter a tensão necessária.

Passo 6

Cálculo da corrente nominal do primário.
Fórmula e variáveis:
I_{1,\text{nom}}=\frac{S}{V_{1,\text{nom}}},
onde S é a potência aparente nominal e V_{1,\text{nom}} a tensão nominal do primário.
Cálculo:
I_{1,\text{nom}}=\frac{50\,000}{120}=416{,}666\ldots\\ \mathrm{A}.
Arredondando:
I_{1,\text{nom}}\approx 416{,}667\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Referindo a reatância do secundário ao primário.
  • Para referir X_2 (dada no lado de 2400\\ \mathrm{V}) ao lado do primário usa-se o fator \left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)^2=\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^2.
Cálculo:
\left(\frac{N_1}{N_2}\right)^2=\left(\frac{120}{2400}\right)^2=\left(\frac{1}{20}\right)^2=\frac{1}{400}.
Logo a reatância do secundário referida ao primário é
X_2' = \frac{1}{400}\,X_2=\frac{1}{400}\cdot 11{,}2 = 0{,}028\\ \Omega.

Passo 8

Reatância equivalente de fuga vista pelo primário e tensão necessária.
  • A reatância total em série que limita a corrente de curto, vista do primário, é
X_{\text{eq}} = X_1 + X_2' = 27{,}4 + 0{,}028 = 27{,}428\\ \Omega.
  • A tensão de curto necessária (magnitudes) para alcançar I_{1,\text{nom}} é
V_{1,SC} = I_{1,\text{nom}}\cdot X_{\text{eq}}.
Substituindo os números:
V_{1,SC} = 416{,}666\ldots \times 27{,}428 \approx 11\,428{,}3\\ \mathrm{V}.
Arredondando:
V_{1,SC}\approx 11{,}428\\ \mathrm{V}\\ (\approx 11{,}43\\ \mathrm{kV}).
Observação didática: o resultado é muito maior que a tensão nominal de 120\\ \mathrm{V}. Isso ocorre porque, nos valores passados pelo enunciado, a reatância de fuga do enrolamento de 120\\ \mathrm{V} é numericamente muito grande, de modo que para forçar corrente nominal seria necessária uma tensão bem maior. Em problemas práticos espera-se X_1 muito menor; aqui foi usado exatamente o valor fornecido.

Resposta

a) I_1 \approx 3{,}47\\ \mathrm{A} (corrente magnetizante, defasada 90^\circ) ; V_2 = 2400\\ \mathrm{V}.
b) V_{1,\text{SC}} \approx 11{\,}428\\ \mathrm{V} (magnitud).

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