A transformer is to be used to transform the impedance of a 8 ohms resistor to an impedance of 75 ohms. Calculate the required turns ratio, assuming the transformer to be ideal.

Passo 1

O enunciado pede: usar um transformador ideal para transformar a impedância de um resistor de 8\\ \Omega em uma impedância de 75\\ \Omega. Ou seja, quando o resistor de 8\\ \Omega estiver ligado a um dos terminais do transformador, o outro terminal deve “ver” 75\\ \Omega.
Informações dadas:
  • Impedância do resistor ligado ao secundário (ou a um lado): Z_s = 8\\ \Omega.
  • Impedância que deve ser apresentada no outro lado (primário, por exemplo): Z_p = 75\\ \Omega.
Definição de notação que vou usar:
  • N_p = número de espiras do lado onde se quer ver 75\\ \Omega (lado primário).
  • N_s = número de espiras do lado onde o resistor de 8\\ \Omega será ligado (lado secundário).

Passo 2

Explicação e fórmula que relaciona impedância refletida e razão de espiras (transformador ideal).
Num transformador ideal valem duas relações importantes:
  • A razão de tensões é igual à razão de espiras:
\frac{V_p}{V_s}=\frac{N_p}{N_s}.
  • A corrente se relaciona inversamente com a razão de espiras:
\frac{I_p}{I_s}=\frac{N_s}{N_p}.
A impedância vista no primário (refletida a partir da impedância ligada ao secundário) é dada por:
Z_p=\left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2 Z_s.
Aqui:
  • Z_p é a impedância refletida no primário,
  • Z_s é a impedância real ligada ao secundário,
  • \dfrac{N_p}{N_s} é a razão de espiras (tons ratio).
Essa fórmula vem de Z_p=V_p/I_p juntamente com V_p/V_s=N_p/N_s e I_p/I_s=N_s/N_p; ao substituir obtém-se o fator quadrado.

Passo 3

Isolar a razão de espiras a partir da relação de impedâncias.
Partindo de
Z_p=\left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2 Z_s,
isolamos \dfrac{N_p}{N_s}:
\left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2=\frac{Z_p}{Z_s},
portanto
\frac{N_p}{N_s}=\sqrt{\frac{Z_p}{Z_s}}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo.
Colocando Z_p=75\\ \Omega e Z_s=8\\ \Omega:
\frac{N_p}{N_s}=\sqrt{\frac{75}{8}}.
Calcular a fração:
\frac{75}{8}=9{,}375.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{9{,}375}\approx 3{,}061862178\ldots
Arredondando para uma precisão prática:
\frac{N_p}{N_s}\approx 3{,}062.
Também é possível escrever a forma exata em radicais:
\frac{N_p}{N_s}=\sqrt{\frac{75}{8}}=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}.

Passo 5

Interpretação física e dica prática para prova.
  • A razão \dfrac{N_p}{N_s}\approx 3{,}062 significa que o primário deve ter cerca de 3{,}062 vezes mais espiras que o secundário para que o resistor de 8\\ \Omega seja visto como 75\\ \Omega no primário.
  • Como \dfrac{N_p}{N_s}>1, o transformador “eleva” a impedância vista (impedance step-up). Consequentemente a corrente no primário será menor que a do secundário na mesma proporção inversa.
  • Em prova, basta lembrar da fórmula Z_{refletida}=(N_{lado}/N_{corrente})^2 Z e isolar a razão de espiras. Se pedirem a razão inversa, basta inverter o resultado.

Resposta

\displaystyle \frac{N_p}{N_s}=\sqrt{\frac{75}{8}}\approx 3{,}062

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