2.122 Consider an op amp connected in the inverting configuration to realize a closed-loop gain of -100 \mathrm{~V} / \mathrm{V} utilizing resistors of 1 \mathrm{k} \Omega and 100 \mathrm{k} \Omega. A load resistance R_{L} is connected from the output to ground, and a low-frequency sine-wave signal of peak amplitude V_{p} is applied to the input. Let the op amp be ideal except that its output voltage saturates at \pm 10 \mathrm{~V} and its output current is limited to the range \pm 20 \mathrm{~mA}.
For R_{L}=1 \mathrm{k} \Omega, what is the maximum possible value of V_{p} while an undistorted output sinusoid is obtained?

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior valor possível da amplitude de pico do sinal de entrada V_{p} tal que a tensão de saída seja uma senoide não distorcida, dado um amplificador operacional em configuração inversora com ganho em malha fechada -100\\ \mathrm{V/V}, usando resistores de 1\\ \mathrm{k}\Omega e 100\\ \mathrm{k}\Omega. Há uma resistência de carga R_{L}=1\\ \mathrm{k}\Omega do terminal de saída para o terra. O amplificador é ideal exceto por: saturação da saída em \pm 10\\ \mathrm{V} e limite de corrente de saída em \pm 20\\ \mathrm{mA}. Devemos encontrar o máximo V_{p} (amplitude de pico) que ainda garante saída senoidal sem distorção.
Informações relevantes do enunciado:
R_{\text{in}}=1\\ \mathrm{k}\Omega,\quad R_{f}=100\\ \mathrm{k}\Omega,\quad R_{L}=1\\ \mathrm{k}\Omega,
\text{saturação de saída}=\pm 10\\ \mathrm{V},\quad I_{\text{lim}}=\pm 20\\ \mathrm{mA},çãí
ganho em malha fechada desejado =-100\\ \mathrm{V/V}, e entrada senoidal de pico V_{p}.

Passo 2

Entendimento e fórmula do circuito inversor (aula rápida, calma que eu explico passo a passo):
Na configuração inversora ideal, o nó inversor fica em tensão virtual de zero (virtual ground) porque o amplificador força a diferença entre entradas a zero. A relação entre entrada e saída é a fórmula clássica:
V_{\text{o}} = -\frac{R_{f}}{R_{\text{in}}}\,V_{\text{in}}.
Aqui V_{\text{o}} é a tensão de saída instantânea, V_{\text{in}} é a tensão de entrada instantânea, R_{f} é o resistor de realimentação (feedback) e R_{\text{in}} é o resistor de entrada. Cada símbolo representa tensão (em volts) ou resistência (em ohms).
Aplicando os valores dados:
\frac{R_{f}}{R_{\text{in}}}=\frac{100\\ \mathrm{k}\Omega}{1\\ \mathrm{k}\Omega}=100,
logo o ganho é -100 e a amplitude de pico da saída é
V_{\text{o,peak}} = 100\,V_{p}.

Passo 3

Condição 1 — evitar saturação da saída:
A saída não pode exceder \pm 10\\ \mathrm{V} sem distorcer. Portanto devemos ter
V_{\text{o,peak}}\le 10\\ \mathrm{V}.
Substituindo V_{\text{o,peak}}=100\,V_{p} obtemos
100\,V_{p}\le 10\\ \mathrm{V}\quad\Rightarrow\quad V_{p}\le \frac{10\\ \mathrm{V}}{100}=0{,}1\\ \mathrm{V}.
Portanto pela saturação, o máximo permitido é V_{p}=0{,}1\\ \mathrm{V} (ou 100\\ \mathrm{mV}).

Passo 4

Condição 2 — limite de corrente de saída:
O amplificador deve fornecer as correntes através do resistor de feedback R_{f} e da carga R_{L}. Quando a saída vale V_{\text{o}} (considerando pico), as correntes de pico saindo do nó de saída são:
  • corrente pela realimentação: I_{f}=\dfrac{V_{\text{o}}}{R_{f}} (do terminal de saída para o nó virtual a 0\\ \mathrm{V}),
  • corrente na carga: I_{L}=\dfrac{V_{\text{o}}}{R_{L}} (do terminal de saída para o terra).
Essas correntes somam-se (em magnitude) no terminal de saída, então a corrente total de pico exigida do amplificador é
I_{\text{out,peak}}=\left|V_{\text{o,peak}}\right|\left(\frac{1}{R_{f}}+\frac{1}{R_{L}}\right).
Para não ultrapassar o limite temos
\left|V_{\text{o,peak}}\right|\left(\frac{1}{R_{f}}+\frac{1}{R_{L}}\right)\le I_{\text{lim}}.
Agora numérico: \dfrac{1}{R_{f}}=\dfrac{1}{100\\ \mathrm{k}\Omega}=1\times 10^{-5}\\ \mathrm{A/V} e \dfrac{1}{R_{L}}=\dfrac{1}{1\\ \mathrm{k}\Omega}=1\times 10^{-3}\\ \mathrm{A/V}. Somando:
\frac{1}{R_{f}}+\frac{1}{R_{L}}=1\times 10^{-5}+1\times 10^{-3}=1{,}01\times 10^{-3}\\ \mathrm{A/V}.
Então o máximo de V_{\text{o,peak}} permitido pela corrente é
V_{\text{o,peak}}\le \frac{I_{\text{lim}}}{\dfrac{1}{R_{f}}+\dfrac{1}{R_{L}}} = \frac{20\times 10^{-3}\\ \mathrm{A}}{1{,}01\times 10^{-3}\\ \mathrm{A/V}} \approx 19{,}80\\ \mathrm{V}.
Convertendo para a entrada (divide por 100):
V_{p}\le \frac{19{,}80\\ \mathrm{V}}{100}=0{,}198\\ \mathrm{V}\approx 198\\ \mathrm{mV}.

Passo 5

Comparação das restrições e escolha do mais restritivo:
  • Pela saturação: V_{p,\text{sat}}=0{,}1\\ \mathrm{V}.
  • Pelo limite de corrente: V_{p,\text{corrente}}\approx 0{,}198\\ \mathrm{V}.
Quem dita o limite mais apertado é o menor desses dois valores. Portanto o limite principal é a saturação em \pm 10\\ \mathrm{V}, que dá V_{p,\max}=0{,}1\\ \mathrm{V}.
Força aí! A conclusão é curta e segura: a saturação domina neste caso porque a carga relativamente pequena não puxa corrente suficiente para atingir o limite de corrente do amp antes da saturação.

Resposta

\;V_{p}=0{,}1\\ \mathrm{V}

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