2.122 Consider an op amp connected in the inverting configuration to realize a closed-loop gain of -100 \mathrm{~V} / \mathrm{V} utilizing resistors of 1 \mathrm{k} \Omega and 100 \mathrm{k} \Omega. A load resistance R_{L} is connected from the output to ground, and a low-frequency sine-wave signal of peak amplitude V_{p} is applied to the input. Let the op amp be ideal except that its output voltage saturates at \pm 10 \mathrm{~V} and its output current is limited to the range \pm 20 \mathrm{~mA}.
If it is desired to obtain an output sinusoid of 10-\mathrm{V} peak amplitude, what minimum value of R_{L} is allowed?

Passo 1

O enunciado pede que, para um amplificador operacional em configuração inversora com ganho fechado -100\\ \mathrm{V/V} realizado pelos resistores R_{1}=1\\ \mathrm{k}\Omega e R_{f}=100\\ \mathrm{k}\Omega, se determine o menor valor permitido de R_{L} (ligado do saída ao terra) de modo que seja possível obter uma senoide de saída com amplitude de pico 10\\ \mathrm{V}.
Informações relevantes dadas:
R_{1}=1000\\ \Omega,\qquad R_{f}=100000\\ \Omega,
o ganho de malha fechada é -100, a saída satura em \pm 10\\ \mathrm{V} e a corrente de saída do amplificador é limitada a \pm 20\\ \mathrm{mA} (ou seja, \pm 0{,}02\\ \mathrm{A}). Deseja-se uma saída senoidal de pico 10\\ \mathrm{V}. A partir disso vamos calcular a corrente máxima que o amplificador precisa fornecer e impor a condição da limitação de corrente para encontrar R_{L}.

Passo 2

Qual a amplitude de entrada necessária para gerar 10\\ \mathrm{V} de saída?
Para o inversor ideal vale a relação
V_{\text{out}}=-\frac{R_{f}}{R_{1}}\,V_{\text{in}}.
Aqui \frac{R_{f}}{R_{1}}=100, logo, em módulo,
|V_{\text{in}}|=\frac{|V_{\text{out}}|}{100}.
Como queremos |V_{\text{out}}|=10\\ \mathrm{V}, temos
|V_{\text{in}}|=\frac{10}{100}=0{,}1\\ \mathrm{V}.
(Isto só serve para entendimento — a corrente através de R_{f} que afeta a corrente de saída será calculada a seguir.)

Passo 3

Calcule as correntes de pico quando V_{\text{out}} atinge 10\\ \mathrm{V}.
Corrente pelo resistor de realimentação R_{f}: o nó somador está em potencial virtual zero (0 V) para um OA ideal, então a corrente que sai da saída e entra em R_{f} é
I_{f}=\frac{V_{\text{out}}-0}{R_{f}}=\frac{V_{\text{out}}}{R_{f}}.
No pico V_{\text{out}}=10\\ \mathrm{V}, temos
I_{f,\text{pico}}=\frac{10}{100000}=0{,}0001\\ \mathrm{A}=0{,}1\\ \mathrm{mA}.
Corrente pelo resistor de carga R_{L}: é simplesmente
I_{L}=\frac{V_{\text{out}}}{R_{L}}.
No pico a corrente de saída total (magnitudes somadas, já que ambas saem da saída quando V_{\text{out}}>0) é
I_{\text{out, pico}}=I_{f,\text{pico}}+I_{L,\text{pico}}=\frac{10}{R_{f}}+\frac{10}{R_{L}}.

Passo 4

Imponha a limitação de corrente do amplificador.
A corrente máxima permitida em pico é 0{,}02\\ \mathrm{A}. Portanto devemos ter
\frac{10}{R_{f}}+\frac{10}{R_{L}}\le 0{,}02.
Substituindo R_{f}=100000\\ \Omega,
\frac{10}{100000}+\frac{10}{R_{L}}\le 0{,}02.

Passo 5

Resolva a desigualdade para R_{L}.
Calcule o primeiro termo:
\frac{10}{100000}=0{,}0001\\ \mathrm{A}.
Assim
0{,}0001+\frac{10}{R_{L}}\le 0{,}02.
Isolando \dfrac{10}{R_{L}}:
\frac{10}{R_{L}}\le 0{,}02-0{,}0001=0{,}0199.
Dividindo ambos os lados por 10:
\frac{1}{R_{L}}\le 0{,}00199.
Inverta para obter R_{L}:
R_{L}\ge \frac{1}{0{,}00199}.
Calcule o valor numérico:
R_{L}\ge 502{,}5125628\\ \Omega\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Interpretação prática e arredondamento.
Portanto o valor mínimo de R_{L} permitido, considerando a limitação de corrente \pm 20\\ \mathrm{mA}, é aproximadamente 502{,}5\\ \Omega. Em prática convém escolher um valor comercial imediatamente acima (por exemplo 560\\ \Omega) para ter margem de segurança e ainda garantir que a saída de 10\\ \mathrm{V} de pico não seja limitada pela corrente do amplificador. Lembre-se também que a amplitude 10\\ \mathrm{V} coincide com a tensão de saturação \pm 10\\ \mathrm{V}; se houver qualquer distorção do sinal ou necessidade de margem, deve-se reduzir a amplitude desejada ou aumentar R_{L}.

Resposta

R_{L}\ge 502{,}5\\ \Omega

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