. Num circuito RLC série, as tensões no resistor, no capacitor e no indutor valem, respectivamente, 6 \mathrm{~V}, 20 \mathrm{~V} e 12 V . Considerando que a corrente consumida vale 10 mA , determine o valor da tensão da fonte, da impedância do circuito e do ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão da fonte.
27) Uma fonte \mathrm{de} \mathrm{v}=140 \operatorname{sen}(4000 . \mathrm{t}-100) V está alimentando o circuito dado. Sabendo-se que a corrente que circula no circuito está adiantada de 21,9^{\circ} em relação a tensão da fonte, determine a equação da corrente e da tensão sobre cada um dos componentes e calcule também a capacitância do capacitor.

Passo 1

Primeiro vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, separando as duas partes do problema.
Parte A (primeiro enunciado)
  • Dados:
    • Tensões nos elementos do circuito série RLC: V_R=6\\ \text{V}, V_C=20\\ \text{V}, V_L=12\\ \text{V}.
    • Corrente que circula no circuito: I=10\\ \text{mA}.
  • Pede:
    • Tensão da fonte (valor eficaz/nominal conforme contexto de fasores).
    • Impedância do circuito.
    • Ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão da fonte.
Parte B (segundo enunciado)
  • Dados:
    • Fonte: v(t)=140\sin(4000\,t-100^\circ)\\ \text{V}.
    • A corrente está adiantada de 21{,}9^\circ em relação à tensão da fonte (ou seja, \varphi_I=\varphi_V+21{,}9^\circ).
    • O circuito alimentado é o mesmo RLC série do qual podemos usar os dados obtidos na Parte A (valores de R, X_L, X_C que deduzimos na Parte A).
    • \omega=4000\\ \text{rad/s}.
  • Pede:
    • Equação da corrente i(t).
    • Equação da tensão sobre cada componente v_R(t), v_L(t), v_C(t).
    • Capacitância C do capacitor.
Observação: a Parte B refere-se ao “circuito dado”. Vou usar os valores dos elementos que podemos obter diretamente da Parte A (isto é consistente: em problemas sequenciais de RLC esse é o procedimento esperado).

Passo 2

Conceitos fundamentais (mini-aula, para entender os passos seguintes)
  • Em regime senoidal estacionário trabalhamos com fasores: cada tensão ou corrente é representada por um número complexo (módulo e ângulo). Somar tensões de um circuito série é somar seus fasores.
  • Em um circuito série RLC:
    • A tensão no resistor R está em fase com a corrente I: \underline{V_R}=R\underline{I}.
    • A tensão no indutor tem defasagem de +90^\circ em relação à corrente: \underline{V_L}=jX_L\underline{I} com X_L=\omega L.
    • A tensão no capacitor tem defasagem de -90^\circ em relação à corrente: \underline{V_C}=-jX_C\underline{I} com X_C=\dfrac{1}{\omega C}.
  • A tensão da fonte (fasor) é a soma fasorial: \underline{V_s}=\underline{V_R}+\underline{V_L}+\underline{V_C}.
  • A impedância do circuito é \underline{Z}=\underline{V_s}/\underline{I}=R+j(X_L-X_C).
Vou usar essas relações passo a passo.

Passo 3

Converter os dados da Parte A para fasores e calcular a tensão da fonte.
  • Tomamos a corrente como referencia de fase: \underline{I}=I\angle 0^\circ com I=10\\ \text{mA}=0{,}01\\ \text{A}.
  • Fasores das tensões dadas (respectivas fases relativas à corrente):
    • \underline{V_R}=6\angle 0^\circ\\ \text{V} (em fase com I).
    • \underline{V_L}=12\angle +90^\circ = j\,12\\ \text{V}.
    • \underline{V_C}=20\angle -90^\circ = -j\,20\\ \text{V}.
  • Soma fasorial (tensão da fonte): \underline{V_s}=\underline{V_R}+\underline{V_L}+\underline{V_C}=6 + j\,12 - j\,20 = 6 - j\,8.
  • Magnitude e ângulo de \underline{V_s}: |\underline{V_s}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\\ \text{V},
\angle \underline{V_s}=\arctan\!\left(\frac{-8}{6}\right) \approx -53{,}13^\circ.
Portanto a tensão da fonte, vista como fasor de valor de pico/valor nominal pedido, tem magnitude 10\\ \text{V} e fase -53{,}13^\circ em relação à corrente de referência.

Passo 4

Calcular a impedância do circuito e os valores R, X_L, X_C.
  • Impedância pela razão fasorial: \underline{Z}=\frac{\underline{V_s}}{\underline{I}}=\frac{10\angle -53{,}13^\circ}{0{,}01\angle 0^\circ}=1000\angle -53{,}13^\circ\\ \Omega.Em forma retangular (usando a soma direta das tensões dividida por I):
    • R=\dfrac{V_R}{I}=\dfrac{6}{0{,}01}=600\\ \Omega.
    • X_L=\dfrac{V_L}{I}=\dfrac{12}{0{,}01}=1200\\ \Omega.
    • |X_C|=\dfrac{V_C}{I}=\dfrac{20}{0{,}01}=2000\\ \Omega (reatância capacitiva é negativa no eixo imaginário).
    • Logo
    \underline{Z}=R+j(X_L-X_C)=600+j(1200-2000)=600 - j\,800\\ \Omega,que tem módulo 1000\\ \Omega e ângulo -53{,}13^\circ, consistente com acima.

Passo 5

Interpretar o ângulo de defasagem pedido (Parte A).
  • Encontramos \angle \underline{V_s}=-53{,}13^\circ quando a corrente foi tomada como referência 0^\circ.
  • Isso significa que a tensão da fonte está atrasada em 53{,}13^\circ em relação à corrente, ou dito de outro modo: a corrente está adiantada em 53{,}13^\circ em relação à tensão da fonte.
  • Normalmente o “ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão da fonte” pode ser informado como \varphi = \angle(\underline{V_s}) - \angle(\underline{I}) = -53{,}13^\circ. Se preferirmos dizer quem está adiantado: a corrente adianta a tensão em 53{,}13^\circ.

Passo 6

Agora resolvo a Parte B usando os valores obtidos na Parte A (explicação do método)
  • Motivo: a Parte B pede as tensões sobre os componentes e a capacitância do capacitor para o “circuito dado”; como não foram fornecidos outros valores, é natural e esperado usar os valores de R, X_L, X_C extraídos da Parte A. Assim usamos R=600\\ \Omega,\quad X_L=1200\\ \Omega,\quad X_C=2000\\ \Omega,e \underline{Z}=600-j\,800\\ \Omega com |\underline{Z}|=1000\\ \Omega.
  • Também temos \omega=4000\\ \text{rad/s} (da fonte) e que a corrente está adiantada de 21{,}9^\circ em relação à tensão da fonte.

Passo 7

Calcular a equação da corrente i(t) (Parte B).
  • Fonte: v(t)=140\sin(4000t-100^\circ). A fase da tensão é -100^\circ.
  • Corrente está adiantada em 21{,}9^\circ, portanto a fase da corrente é \varphi_I = -100^\circ + 21{,}9^\circ = -78{,}1^\circ.
  • Módulo da corrente (valor de pico) pelo módulo da impedância: I_m=\frac{V_m}{|\underline{Z}|}=\frac{140}{1000}=0{,}14\\ \text{A}.
  • Assim a equação da corrente (tempo real, forma senoidal) é i(t)=0{,}14\sin\!\bigl(4000t-78{,}1^\circ\bigr)\\ \text{A}.

Passo 8

Calcular as tensões sobre cada componente (Parte B).
  • Tensão no resistor: está em fase com a corrente e tem amplitude V_{R,m}=I_mR. V_{R,m}=0{,}14\cdot600=84\\ \text{V},
v_R(t)=84\sin\!\bigl(4000t-78{,}1^\circ\bigr)\\ \text{V}.
  • Tensão no indutor: adianta a corrente em +90^\circ, amplitude V_{L,m}=I_m X_L. V_{L,m}=0{,}14\cdot1200=168\\ \text{V},
v_L(t)=168\sin\!\bigl(4000t+11{,}9^\circ\bigr)\\ \text{V},
pois -78{,}1^\circ+90^\circ=11{,}9^\circ.
  • Tensão no capacitor: atrasa a corrente em 90^\circ, amplitude V_{C,m}=I_m X_C. V_{C,m}=0{,}14\cdot2000=280\\ \text{V},
v_C(t)=280\sin\!\bigl(4000t-168{,}1^\circ\bigr)\\ \text{V},
pois -78{,}1^\circ-90^\circ=-168{,}1^\circ (pode-se também adicionar 360^\circ se preferir uma fase dentro de [-180^\circ,180^\circ]).

Passo 9

Calcular a capacitância C (Parte B).
  • Relembrando a relação da reatância capacitiva: X_C=\dfrac{1}{\omega C}.
  • Com X_C=2000\\ \Omega e \omega=4000\\ \text{rad/s}, C=\frac{1}{\omega X_C}=\frac{1}{4000\cdot 2000}=\frac{1}{8\times10^{6}}=1{,}25\times10^{-7}\\ \text{F}=125\\ \text{nF}.

Resposta

Parte A — Tensão da fonte: \;|\underline{V_s}|=10\\ \text{V},\\ \angle\underline{V_s}=-53{,}13^\circ.
Parte A — Impedância do circuito: \;\underline{Z}=600 - j\,800\\ \Omega = 1000\angle -53{,}13^\circ\\ \Omega.
Parte A — Ângulo de defasagem entre corrente e tensão da fonte: \;\varphi=\angle\underline{V_s}-\angle\underline{I}=-53{,}13^\circ (ou seja, a corrente adianta a tensão da fonte em 53{,}13^\circ).
Parte B — Equação da corrente: \;i(t)=0{,}14\sin\!\bigl(4000t-78{,}1^\circ\bigr)\\ \text{A}.
Parte B — Tensões sobre os componentes:
\;v_R(t)=84\sin\!\bigl(4000t-78{,}1^\circ\bigr)\\ \text{V}.
\;v_L(t)=168\sin\!\bigl(4000t+11{,}9^\circ\bigr)\\ \text{V}.
\;v_C(t)=280\sin\!\bigl(4000t-168{,}1^\circ\bigr)\\ \text{V}.
Parte B — Capacitância do capacitor: \;C=1{,}25\times10^{-7}\\ \text{F}=125\\ \text{nF}.

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