. Num circuito RLC série, as tensões no resistor, no capacitor e no indutor valem, respectivamente, 6 \mathrm{~V}, 20 \mathrm{~V} e 12 V . Considerando que a corrente consumida vale 10 mA , determine o valor da tensão da fonte, da impedância do circuito e do ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão da fonte.
27) Uma fonte \mathrm{de} \mathrm{v}=140 \operatorname{sen}(4000 . \mathrm{t}-100) V está alimentando o circuito dado. Sabendo-se que a corrente que circula no circuito está adiantada de 21,9^{\circ} em relação a tensão da fonte, determine a equação da corrente e da tensão sobre cada um dos componentes e calcule também a capacitância do capacitor.
Passo 1
Primeiro vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede, separando as duas partes do problema.
Parte A (primeiro enunciado)
Dados:
Tensões nos elementos do circuito série RLC: V_R=6\\ \text{V}, V_C=20\\ \text{V}, V_L=12\\ \text{V}.
Corrente que circula no circuito: I=10\\ \text{mA}.
Pede:
Tensão da fonte (valor eficaz/nominal conforme contexto de fasores).
Impedância do circuito.
Ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão da fonte.
A corrente está adiantada de 21{,}9^\circ em relação à tensão da fonte (ou seja, \varphi_I=\varphi_V+21{,}9^\circ).
O circuito alimentado é o mesmo RLC série do qual podemos usar os dados obtidos na Parte A (valores de R, X_L, X_C que deduzimos na Parte A).
\omega=4000\\ \text{rad/s}.
Pede:
Equação da corrente i(t).
Equação da tensão sobre cada componente v_R(t), v_L(t), v_C(t).
Capacitância C do capacitor.
Observação: a Parte B refere-se ao “circuito dado”. Vou usar os valores dos elementos que podemos obter diretamente da Parte A (isto é consistente: em problemas sequenciais de RLC esse é o procedimento esperado).
Passo 2
Conceitos fundamentais (mini-aula, para entender os passos seguintes)
Em regime senoidal estacionário trabalhamos com fasores: cada tensão ou corrente é representada por um número complexo (módulo e ângulo). Somar tensões de um circuito série é somar seus fasores.
Em um circuito série RLC:
A tensão no resistor R está em fase com a corrente I: \underline{V_R}=R\underline{I}.
A tensão no indutor tem defasagem de +90^\circ em relação à corrente: \underline{V_L}=jX_L\underline{I} com X_L=\omega L.
A tensão no capacitor tem defasagem de -90^\circ em relação à corrente: \underline{V_C}=-jX_C\underline{I} com X_C=\dfrac{1}{\omega C}.
A tensão da fonte (fasor) é a soma fasorial: \underline{V_s}=\underline{V_R}+\underline{V_L}+\underline{V_C}.
A impedância do circuito é \underline{Z}=\underline{V_s}/\underline{I}=R+j(X_L-X_C).
Vou usar essas relações passo a passo.
Passo 3
Converter os dados da Parte A para fasores e calcular a tensão da fonte.
Tomamos a corrente como referencia de fase: \underline{I}=I\angle 0^\circ com I=10\\ \text{mA}=0{,}01\\ \text{A}.
Fasores das tensões dadas (respectivas fases relativas à corrente):
\underline{V_R}=6\angle 0^\circ\\ \text{V} (em fase com I).
Portanto a tensão da fonte, vista como fasor de valor de pico/valor nominal pedido, tem magnitude 10\\ \text{V} e fase -53{,}13^\circ em relação à corrente de referência.
Passo 4
Calcular a impedância do circuito e os valores R, X_L, X_C.
Impedância pela razão fasorial:\underline{Z}=\frac{\underline{V_s}}{\underline{I}}=\frac{10\angle -53{,}13^\circ}{0{,}01\angle 0^\circ}=1000\angle -53{,}13^\circ\\ \Omega.Em forma retangular (usando a soma direta das tensões dividida por I):
|X_C|=\dfrac{V_C}{I}=\dfrac{20}{0{,}01}=2000\\ \Omega (reatância capacitiva é negativa no eixo imaginário).
Logo
\underline{Z}=R+j(X_L-X_C)=600+j(1200-2000)=600 - j\,800\\ \Omega,que tem módulo 1000\\ \Omega e ângulo -53{,}13^\circ, consistente com acima.
Passo 5
Interpretar o ângulo de defasagem pedido (Parte A).
Encontramos \angle \underline{V_s}=-53{,}13^\circ quando a corrente foi tomada como referência 0^\circ.
Isso significa que a tensão da fonte está atrasada em 53{,}13^\circ em relação à corrente, ou dito de outro modo: a corrente está adiantada em 53{,}13^\circ em relação à tensão da fonte.
Normalmente o “ângulo de defasagem entre a corrente e a tensão da fonte” pode ser informado como \varphi = \angle(\underline{V_s}) - \angle(\underline{I}) = -53{,}13^\circ. Se preferirmos dizer quem está adiantado: a corrente adianta a tensão em 53{,}13^\circ.
Passo 6
Agora resolvo a Parte B usando os valores obtidos na Parte A (explicação do método)
Motivo: a Parte B pede as tensões sobre os componentes e a capacitância do capacitor para o “circuito dado”; como não foram fornecidos outros valores, é natural e esperado usar os valores de R, X_L, X_C extraídos da Parte A. Assim usamosR=600\\ \Omega,\quad X_L=1200\\ \Omega,\quad X_C=2000\\ \Omega,e \underline{Z}=600-j\,800\\ \Omega com |\underline{Z}|=1000\\ \Omega.
Também temos \omega=4000\\ \text{rad/s} (da fonte) e que a corrente está adiantada de 21{,}9^\circ em relação à tensão da fonte.
Passo 7
Calcular a equação da corrente i(t) (Parte B).
Fonte: v(t)=140\sin(4000t-100^\circ). A fase da tensão é -100^\circ.
Corrente está adiantada em 21{,}9^\circ, portanto a fase da corrente é\varphi_I = -100^\circ + 21{,}9^\circ = -78{,}1^\circ.
Módulo da corrente (valor de pico) pelo módulo da impedância:I_m=\frac{V_m}{|\underline{Z}|}=\frac{140}{1000}=0{,}14\\ \text{A}.
Assim a equação da corrente (tempo real, forma senoidal) éi(t)=0{,}14\sin\!\bigl(4000t-78{,}1^\circ\bigr)\\ \text{A}.
Passo 8
Calcular as tensões sobre cada componente (Parte B).
Tensão no resistor: está em fase com a corrente e tem amplitude V_{R,m}=I_mR.V_{R,m}=0{,}14\cdot600=84\\ \text{V},
pois -78{,}1^\circ-90^\circ=-168{,}1^\circ (pode-se também adicionar 360^\circ se preferir uma fase dentro de [-180^\circ,180^\circ]).
Passo 9
Calcular a capacitância C (Parte B).
Relembrando a relação da reatância capacitiva: X_C=\dfrac{1}{\omega C}.
Com X_C=2000\\ \Omega e \omega=4000\\ \text{rad/s},C=\frac{1}{\omega X_C}=\frac{1}{4000\cdot 2000}=\frac{1}{8\times10^{6}}=1{,}25\times10^{-7}\\ \text{F}=125\\ \text{nF}.
Resposta
Parte A — Tensão da fonte: \;|\underline{V_s}|=10\\ \text{V},\\ \angle\underline{V_s}=-53{,}13^\circ.
Parte A — Impedância do circuito: \;\underline{Z}=600 - j\,800\\ \Omega = 1000\angle -53{,}13^\circ\\ \Omega.
Parte A — Ângulo de defasagem entre corrente e tensão da fonte: \;\varphi=\angle\underline{V_s}-\angle\underline{I}=-53{,}13^\circ (ou seja, a corrente adianta a tensão da fonte em 53{,}13^\circ).
Parte B — Equação da corrente: \;i(t)=0{,}14\sin\!\bigl(4000t-78{,}1^\circ\bigr)\\ \text{A}.
Parte B — Tensões sobre os componentes: \;v_R(t)=84\sin\!\bigl(4000t-78{,}1^\circ\bigr)\\ \text{V}. \;v_L(t)=168\sin\!\bigl(4000t+11{,}9^\circ\bigr)\\ \text{V}. \;v_C(t)=280\sin\!\bigl(4000t-168{,}1^\circ\bigr)\\ \text{V}.
Parte B — Capacitância do capacitor: \;C=1{,}25\times10^{-7}\\ \text{F}=125\\ \text{nF}.