6.123. A viga em U de aço é usada para reforçar a viga de madeira. Determine a tensão máxima no aço e na madeira se a viga for submetida a um momento M=1,2 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}. E_{\mathrm{ac}}=200 \mathrm{GPa}, E_{\mathrm{mad}}=12 \mathrm{GPa}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão e o que é pedido. Peguei estes números da imagem enviada.
  • O enunciado pede: determinar a tensão máxima no aço e a tensão máxima na madeira quando a viga composta é submetida a um momento M.
  • Dados fornecidos (peguei-os da imagem / enunciado):
    • M = 1,2\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}.
    • Módulos de elasticidade: E_{\mathrm{ac}}=200\\ \mathrm{GPa} (aço) e E_{\mathrm{mad}}=12\\ \mathrm{GPa} (madeira).
    • Geometria (peguei da figura): bloco de madeira com largura b=375\\ \mathrm{mm} e altura h_{\mathrm{mad}}=100\\ \mathrm{mm}. O aço é uma peça em U que envolve as duas laterais e o topo, com espessura t=12\\ \mathrm{mm}. Ou seja, há duas chapas laterais de 12\\ \mathrm{mm}\times100\\ \mathrm{mm} e uma chapa superior de 375\\ \mathrm{mm}\times12\\ \mathrm{mm}.
  • Observação importante sobre a interpretação da figura (não posso perguntar mais nada): adotei a configuração em que as chapas laterais têm altura igual à altura da madeira ( 100\\ \mathrm{mm}) e a chapa superior fica acima da madeira (espessura 12\\ \mathrm{mm}), de modo que a altura total externa chega a 100+12=112\\ \mathrm{mm}. Se a figura fosse interpretada de outra forma, alguns valores mudariam, mas o procedimento segue o mesmo.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê (aula curta e prática).
  • Problema de viga composta (dois materiais com E diferentes): usamos o método da seção transformada (ou “método do módulo de elasticidade equivalente”). Ideia principal: transformar a área da madeira em uma área equivalente de aço multiplicando pela razão n=\dfrac{E_{\mathrm{ac}}}{E_{\mathrm{mad}}}. Assim trabalhamos com uma seção homogênea equivalente ao aço, calculamos o eixo neutro e o momento de inércia equivalente e, a partir disso, obtemos a curvatura e as tensões.
  • Fórmula-chave (explicada): depois de transformar para aço, a curvatura é
\kappa=\frac{M}{E_{\mathrm{ac}} I'_{\text{total}}},
onde I'_{\text{total}} é o momento de inércia da seção transformada (todas as áreas medidas em “área equivalente de aço”). A tensão no aço em uma fibra a distância y do eixo neutro é
\sigma_{\mathrm{ac}}(y)=E_{\mathrm{ac}\,}\kappa\,(y-y_{\mathrm{NA}})=\frac{M\,(y-y_{\mathrm{NA}})}{I'_{\text{total}}},
e a tensão na madeira é menor porque E_{\mathrm{mad}}<E_{\mathrm{ac}}; com a transformação,
\sigma_{\mathrm{mad}}(y)=E_{\mathrm{mad}\,}\kappa\,(y-y_{\mathrm{NA}})=\frac{E_{\mathrm{mad}}}{E_{\mathrm{ac}}}\,\sigma_{\mathrm{ac}}(y)=\frac{1}{n}\,\sigma_{\mathrm{ac}}(y).
  • Aqui y mede a distância vertical a partir da base (vou medir com y=0 na face inferior das chapas laterais), y_{\mathrm{NA}} é a posição do eixo neutro transformado.

Passo 3

Calcular a razão modular n.
n=\frac{E_{\mathrm{ac}}}{E_{\mathrm{mad}}}=\frac{200\\ \mathrm{GPa}}{12\\ \mathrm{GPa}}=\frac{200}{12}=\frac{50}{3}\approx16,6667.

Passo 4

Áreas e centroides das peças (todas em mm e mm^2), peguei as dimensões da imagem.
  • Madeira (retângulo): b=375\\ \mathrm{mm},\\ h_{\mathrm{mad}}=100\\ \mathrm{mm}. A_{\mathrm{mad}}=b h_{\mathrm{mad}}=375\cdot100=37\,500\\ \mathrm{mm}^2.Centroide vertical da madeira (a partir da base): y_{\mathrm{mad}}=\dfrac{h_{\mathrm{mad}}}{2}=50\\ \mathrm{mm}.
  • Aço — duas chapas laterais (cada uma 12\times100) e uma chapa superior ( 375\times12): A_{\text{lat}}=12\cdot100=1\,200\\ \mathrm{mm}^2\quad(\text{cada}), \qquad A_{\text{sup}}=375\cdot12=4\,500\\ \mathrm{mm}^2.Centroides verticais (a partir da base): y_{\text{lat}}=\frac{100}{2}=50\\ \mathrm{mm},\qquad y_{\text{sup}}=100+\frac{12}{2}=106\\ \mathrm{mm}.
  • Áreas transformadas (transformo a madeira para área equivalente em aço): A'_{\mathrm{mad}}=n\,A_{\mathrm{mad}}=\frac{50}{3}\cdot37\,500=625\,000\\ \mathrm{mm}^2.Áreas do aço mantêm-se: A_{\text{lat}}=1\,200\\ \mathrm{mm}^2 (cada), A_{\text{sup}}=4\,500\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 5

Determinar a posição do eixo neutro y_{\mathrm{NA}} da seção transformada (a partir da base).
  • Soma das áreas transformadas: A'_{\text{total}}=A'_{\mathrm{mad}}+2A_{\text{lat}}+A_{\text{sup}}=625\,000+2(1\,200)+4\,500=631\,900\\ \mathrm{mm}^2.
  • Primeiro momento estático (somatório A_i y_i): \sum A_i y_i = A'_{\mathrm{mad}}(50)+2\cdot A_{\text{lat}}(50)+A_{\text{sup}}(106).Substituindo: \sum A_i y_i =625\,000\cdot50 + 2\cdot1\,200\cdot50 + 4\,500\cdot106 =31\,250\,000 + 120\,000 + 477\,000 =31\,847\,000\\ \mathrm{mm}^3.
  • Portanto y_{\mathrm{NA}}=\frac{\sum A_i y_i}{A'_{\text{total}}}=\frac{31\,847\,000}{631\,900}\approx50,399\\ \mathrm{mm}.
Interpretação rápida: o eixo neutro fica muito próximo do meio da madeira ( 50\\ \mathrm{mm}) porque a madeira ocupa a maior parte da seção transformada.

Passo 6

Calcular o momento de inércia I'_{\text{total}} da seção transformada em relação ao eixo neutro (todas as contribuições em \mathrm{mm}^4).
  • Madeira (retângulo) transformada: momento de inércia em torno de seu próprio centro é I_{\mathrm{mad,cent}}=\frac{b h^3}{12}=\frac{375\cdot100^3}{12}=31\,250\,000\\ \mathrm{mm}^4.Como foi transformada por n: I'_{\mathrm{mad}}=n\,I_{\mathrm{mad,cent}}=\frac{50}{3}\cdot31\,250\,000=\frac{1\,562\,500\,000}{3}=520\,833\,333{,}3\\ \mathrm{mm}^4.(não esquecer a unidade)
  • Duas chapas laterais (cada uma): momento de inércia em torno do seu centro (retângulo vertical) I_{\text{lat,cent}}=\frac{b h^3}{12}=\frac{12\cdot100^3}{12}=1\,000\,000\\ \mathrm{mm}^4\quad(\text{cada}).Deslocamento do centro da chapa lateral até o eixo neutro: d_{\text{lat}}=y_{\text{lat}}-y_{\mathrm{NA}}=50-50{,}399=-0{,}399\\ \mathrm{mm}.
    Termo de eixo paralelo: A_{\text{lat}} d_{\text{lat}}^2=1\,200\cdot(0{,}399)^2\approx191{,}04\\ \mathrm{mm}^4.
    Soma para as duas chapas: I'_{\text{lats}}=2\left(I_{\text{lat,cent}} + A_{\text{lat}} d_{\text{lat}}^2\right) \approx 2\left(1\,000\,000 + 191{,}04\right)\approx2\,000\,382{,}08\\ \mathrm{mm}^4.
  • Chapa superior: momento de inércia em torno de seu centro (espessura vertical 12\\ \mathrm{mm}): I_{\text{sup,cent}}=\frac{b t^3}{12}=\frac{375\cdot12^3}{12}=375\cdot144=54\,000\\ \mathrm{mm}^4.Distância até o eixo neutro: d_{\text{sup}}=y_{\text{sup}}-y_{\mathrm{NA}}=106-50{,}399=55{,}601\\ \mathrm{mm}.
    Termo de eixo paralelo: A_{\text{sup}} d_{\text{sup}}^2=4\,500\cdot(55{,}601)^2\approx13\,910\,983\\ \mathrm{mm}^4.
    Assim I'_{\text{sup}}=I_{\text{sup,cent}} + A_{\text{sup}} d_{\text{sup}}^2\approx54\,000 + 13\,910\,983 \approx13\,964\,983\\ \mathrm{mm}^4.
  • Somando todas as contribuições: I'_{\text{total}} = I'_{\mathrm{mad}} + I'_{\text{lats}} + I'_{\text{sup}} \approx 520\,833\,333{,}3 + 2\,000\,382{,}1 + 13\,964\,983 \approx 536\,798\,698\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 7

Determinar a curvatura e a relação entre tensões (resumo da fórmula que usamos).
  • Converter o momento para \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}: M=1,2\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}=1{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}=1{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}.
  • Curvatura: \kappa=\frac{M}{E_{\mathrm{ac}}\,I'_{\text{total}}} =\frac{1{,}2\times10^{6}}{200{,}000\\ \mathrm{N/mm}^2\cdot 536\,798\,698\\ \mathrm{mm}^4} \quad\text{(não precisamos do valor numérico exato para a fórmula de tensão, mas calcularei a seguir).}ãéóã
  • Tensão no aço numa fibra a distância y do fundo: \sigma_{\mathrm{ac}}(y)=\frac{M\,(y-y_{\mathrm{NA}})}{I'_{\text{total}}}.
  • Tensão na madeira: \sigma_{\mathrm{mad}}(y)=\frac{E_{\mathrm{mad}}}{E_{\mathrm{ac}}}\,\sigma_{\mathrm{ac}}(y)=\frac{1}{n}\,\sigma_{\mathrm{ac}}(y).

Passo 8

Calcular as tensões máximas (avaliação nas fibras extremas).
  • Posicionamentos extremos (medidos a partir da base):
    • Face inferior das chapas laterais: y_{\text{inf}}=0\\ \mathrm{mm}.
    • Face superior externa (topo da chapa superior): y_{\text{sup,ext}}=100+12=112\\ \mathrm{mm}.
    • Para a madeira, fibras extremas internas são y=0 (base) e y=100 (topo da madeira, logo abaixo da chapa superior).
  • Distâncias ao eixo neutro: y_{\text{sup,ext}}-y_{\mathrm{NA}}=112-50{,}399=61{,}601\\ \mathrm{mm}, \qquad y_{\text{inf}}-y_{\mathrm{NA}}=0-50{,}399=-50{,}399\\ \mathrm{mm},
y_{\mathrm{mad,top}}-y_{\mathrm{NA}}=100-50{,}399=49{,}601\\ \mathrm{mm}.
  • Tensão máxima no aço (usar a fórmula direta): \sigma_{\mathrm{ac}}(y)=\frac{M\,(y-y_{\mathrm{NA}})}{I'_{\text{total}}}.Avaliando no topo externo ( y=112\\ \mathrm{mm}): \sigma_{\mathrm{ac,top}}=\frac{1{,}2\times10^{6}\cdot61{,}601}{536\,798\,698}\approx0{,}1377\\ \mathrm{N/mm}^2=0{,}1377\\ \mathrm{MPa}.Avaliando na face inferior ( y=0\\ \mathrm{mm}): \sigma_{\mathrm{ac,bot}}=\frac{1{,}2\times10^{6}\cdot(-50{,}399)}{536\,798\,698}\approx-0{,}1127\\ \mathrm{MPa}.Observação: sinais indicam que um lado está em compressão e o outro em tração; a máxima magnitude no aço é 0{,}1377\\ \mathrm{MPa} (no topo externo).
  • Tensão máxima na madeira: usar \sigma_{\mathrm{mad}}=\dfrac{1}{n}\sigma_{\mathrm{ac}} avaliada nas superfícies da madeira.
    • Em y=100\\ \mathrm{mm} (topo da madeira): \sigma_{\mathrm{mad,top}}=\frac{1}{n}\cdot\frac{1{,}2\times10^{6}\cdot49{,}601}{536\,798\,698} \approx\frac{0{,}11086}{16{,}6667}\approx0{,}006651\\ \mathrm{MPa}.
    • Em y=0\\ \mathrm{mm} (base da madeira): \sigma_{\mathrm{mad,bot}}=\frac{1}{n}\cdot(-0{,}1127)\approx-0{,}006762\\ \mathrm{MPa}.
    Portanto a máxima magnitude na madeira é aproximadamente 0{,}006762\\ \mathrm{MPa} (aprox. 6{,}76\\ \mathrm{kPa}).

Passo 9

Interpretação final e checagem rápida:
  • As tensões obtidas são relativamente pequenas porque o momento aplicado M=1{,}2\\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} é pequeno comparado à rigidez da seção grande.
  • A máxima tensão no aço ocorre no topo externo (valor em módulo maior) e vale aproximadamente 0{,}138\\ \mathrm{MPa}.
  • A madeira, por ter módulo muito menor, suporta tensões muito menores (cerca de 0{,}0068\\ \mathrm{MPa} no máximo).

Resposta

Aço: 0,138\\ \mathrm{MPa} (valor máximo em módulo, no topo externo).
Madeira: 0,00676\\ \mathrm{MPa} (valor máximo em módulo, na fibra inferior ou superior da madeira).

Exercícios relacionados