6.123. A viga em U de aço é usada para reforçar a viga de madeira. Determine a tensão máxima no aço e na madeira se a viga for submetida a um momento
.
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão e o que é pedido. Peguei estes números da imagem enviada.
- O enunciado pede: determinar a tensão máxima no aço e a tensão máxima na madeira quando a viga composta é submetida a um momento
. - Dados fornecidos (peguei-os da imagem / enunciado):
-
. - Módulos de elasticidade:
(aço) e (madeira). - Geometria (peguei da figura): bloco de madeira com largura
e altura . O aço é uma peça em U que envolve as duas laterais e o topo, com espessura . Ou seja, há duas chapas laterais de e uma chapa superior de .
-
- Observação importante sobre a interpretação da figura (não posso perguntar mais nada): adotei a configuração em que as chapas laterais têm altura igual à altura da madeira (
) e a chapa superior fica acima da madeira (espessura ), de modo que a altura total externa chega a . Se a figura fosse interpretada de outra forma, alguns valores mudariam, mas o procedimento segue o mesmo.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê (aula curta e prática).
- Problema de viga composta (dois materiais com
diferentes): usamos o método da seção transformada (ou “método do módulo de elasticidade equivalente”). Ideia principal: transformar a área da madeira em uma área equivalente de aço multiplicando pela razão . Assim trabalhamos com uma seção homogênea equivalente ao aço, calculamos o eixo neutro e o momento de inércia equivalente e, a partir disso, obtemos a curvatura e as tensões. - Fórmula-chave (explicada): depois de transformar para aço, a curvatura é
onde
é o momento de inércia da seção transformada (todas as áreas medidas em “área equivalente de aço”). A tensão no aço em uma fibra a distância
do eixo neutro é
e a tensão na madeira é menor porque
; com a transformação,
- Aqui
mede a distância vertical a partir da base (vou medir com na face inferior das chapas laterais), é a posição do eixo neutro transformado.
Passo 3
Calcular a razão modular
.
Passo 4
Áreas e centroides das peças (todas em mm e mm^2), peguei as dimensões da imagem.
- Madeira (retângulo):
. Centroide vertical da madeira (a partir da base): . - Aço — duas chapas laterais (cada uma
) e uma chapa superior ( ): Centroides verticais (a partir da base): - Áreas transformadas (transformo a madeira para área equivalente em aço):
Áreas do aço mantêm-se: (cada), .
Passo 5
Determinar a posição do eixo neutro
da seção transformada (a partir da base).
- Soma das áreas transformadas:
- Primeiro momento estático (somatório
): Substituindo: - Portanto
Interpretação rápida: o eixo neutro fica muito próximo do meio da madeira (
) porque a madeira ocupa a maior parte da seção transformada.
Passo 6
Calcular o momento de inércia
da seção transformada em relação ao eixo neutro (todas as contribuições em
).
- Madeira (retângulo) transformada: momento de inércia em torno de seu próprio centro é
Como foi transformada por : (não esquecer a unidade) - Duas chapas laterais (cada uma): momento de inércia em torno do seu centro (retângulo vertical)
Deslocamento do centro da chapa lateral até o eixo neutro: .
Termo de eixo paralelo:.
Soma para as duas chapas: - Chapa superior: momento de inércia em torno de seu centro (espessura vertical
): Distância até o eixo neutro: .
Termo de eixo paralelo:.
Assim - Somando todas as contribuições:
Passo 7
Determinar a curvatura e a relação entre tensões (resumo da fórmula que usamos).
- Converter o momento para
: - Curvatura:
- Tensão no aço numa fibra a distância
do fundo: - Tensão na madeira:
Passo 8
Calcular as tensões máximas (avaliação nas fibras extremas).
- Posicionamentos extremos (medidos a partir da base):
- Face inferior das chapas laterais:
. - Face superior externa (topo da chapa superior):
. - Para a madeira, fibras extremas internas são
(base) e (topo da madeira, logo abaixo da chapa superior).
- Face inferior das chapas laterais:
- Distâncias ao eixo neutro:
- Tensão máxima no aço (usar a fórmula direta):
Avaliando no topo externo ( ): Avaliando na face inferior ( ): Observação: sinais indicam que um lado está em compressão e o outro em tração; a máxima magnitude no aço é (no topo externo). - Tensão máxima na madeira: usar
avaliada nas superfícies da madeira. - Em
(topo da madeira): - Em
(base da madeira):
(aprox. ). - Em
Passo 9
Interpretação final e checagem rápida:
- As tensões obtidas são relativamente pequenas porque o momento aplicado
é pequeno comparado à rigidez da seção grande. - A máxima tensão no aço ocorre no topo externo (valor em módulo maior) e vale aproximadamente
. - A madeira, por ter módulo muito menor, suporta tensões muito menores (cerca de
no máximo).
Resposta
Aço:
(valor máximo em módulo, no topo externo).
Madeira: (valor máximo em módulo, na fibra inferior ou superior da madeira).
Madeira: