0.124. Us lados da viga de abeto Douglas sao retorçados com tiras de aço A-36. Determine a tensão máxima desenvolvida na madeira e no aço se a viga for submetida a um momento fletor M_{z}=4 \mathrm{kN} \cdot \mathrm{m}. Faça um rascunho da distribuição de tensão que age na seção transversal.

Passo 1

O que o enunciado pede
  • Determinar a tensão máxima desenvolvida na madeira (abeto Douglas) e no aço (A-36) quando a viga é submetida a um momento fletor \,M_{z}=4\\ \text{kN}\cdot\text{m}\,.
  • Fazer um rascunho (desenho qualitativo) da distribuição de tensão na seção transversal.
Informações fornecidas (peguei estes números da imagem)
  • Largura da alma de madeira: \,b=200\\ \text{mm}\,.
  • Altura total (espessura em direção y): \,h=350\\ \text{mm}\,.
  • Tira de aço em cada lado com espessura: \,t=15\\ \text{mm}\, e altura igual à da madeira ( 350\\ \text{mm}).
  • Momento aplicado: \,M_{z}=4\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Informação não fornecida no enunciado (assumo valores típicos)
  • Módulo de elasticidade do aço A-36: \,E_s=200\\ \text{GPa}=200\!000\\ \text{N/mm}^2\, (valor típico).
  • Módulo de elasticidade do abeto Douglas: assumirei \,E_w=12\\ \text{GPa}=12\!000\\ \text{N/mm}^2\, (valor típico para madeira estrutural—se tiver outro valor use-o e refaça os cálculos).
  • Justificativa: sem E dado, usa-se um valor típico; o método que vou aplicar permite reusar outros E facilmente.
Resumo do objetivo de cálculo
  • Calcular a distribuição de tensões por flexão (varia linearmente com a coordenada y) e obter os valores máximos na madeira e no aço (extremos em |y|=h/2).

Passo 2

Escolha do método e ideia física (explicação didática)
  • Metodo escolhido: seção transformada (método padrão para secções compostas de dois materiais diferentes).
  • Por que esse método? Porque a flexão provoca uma curvatura \kappa comum à secção inteira; a deformação em uma posição \,y\, é \,\varepsilon(y)=\kappa y. A tensão no material i é \,\sigma_i(y)=E_i\varepsilon(y)=E_i\kappa y.
  • Para obter \kappa usamos a relação entre momento e curvatura: o momento interno resultante é \displaystyle M=\int E(y)\, \kappa y^2\,dA = \kappa\;E_{\text{ref}} I_{\text{transformed}}, onde escolhemos uma referência E_{\text{ref}} (aqui E_{\text{ref}}=E_w, a madeira) e transformamos as áreas do outro material multiplicando por n=E_s/E_w.
  • Assim \displaystyle \kappa=\frac{M}{E_w I_{\text{transformed}}} e as tensões resultam:
    • Para a madeira: \displaystyle \sigma_w(y)=E_w\kappa y=\frac{M\,y}{I_{\text{transformed}}} (observe o E_w cancela).
    • Para o aço: \displaystyle \sigma_s(y)=E_s\kappa y = \frac{E_s}{E_w}\frac{M\,y}{I_{\text{transformed}}}=n\,\sigma_w(y).
  • Conclusão prática: basta calcular o momento de inércia transformado \,I_{\text{transformed}}\, (transformando as áreas de aço por n), depois \sigma_w via \sigma_w=-M y / I_{\text{transformed}} e \sigma_s=n\,\sigma_w. (sinal negativo indica compressão no lado onde y>0 for tomado negativo, etc.; aqui consideramos magnitude e sinal conforme posição).

Passo 3

Cálculo dos parâmetros geométricos e do módulo de proporcionalidade
  • Modular ratio: n=\frac{E_s}{E_w}=\frac{200\;000}{12\;000}= \frac{200}{12}=16{,}666\ldots \approx 16{,}67.
  • Conversão do momento para unidades coerentes (N·mm): M=4\\ \text{kN}\cdot\text{m}=4\;000\\ \text{N}\cdot\text{m}=4\;000\cdot 1\;000\\ \text{N}\cdot\text{mm}=4\;000\;000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.
  • Coordenada do eixo neutro em y: por simetria vertical da seção (topo e base simétricos), o eixo neutro está no centro geométrico vertical; portanto as fibras extremas ficam em y_{\max}=\frac{h}{2}=\frac{350}{2}=175\\ \text{mm}.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia transformado \,I_{\text{transformed}}
  • Momento de inércia da placa de madeira (retângulo de largura b e altura h) em relação ao eixo horizontal central ( z-axis): I_w=\frac{1}{12}\,b\,h^3=\frac{1}{12}\cdot 200\cdot 350^3.Calculemos passo a passo: 350^2=122\;500,\qquad 350^3=122\;500\cdot 350=42\;875\;000.
b\,h^3=200\cdot 42\;875\;000=8\;575\;000\;000.
I_w=\frac{8\;575\;000\;000}{12}=714\;583\;333{,}33\\ \text{mm}^4.
  • Momento de inércia de UMA tira de aço (espessura t e altura h), em torno do mesmo eixo horizontal central: I_{s,\text{cent}}=\frac{1}{12}\,t\,h^3=\frac{1}{12}\cdot 15\cdot 350^3.Note que por proporcionalidade em relação a I_w, I_{s,\text{cent}}=\frac{15}{200}I_w=0{,}075\,I_w.
  • Como há duas tiras (esquerda e direita) e ao transformar o aço para madeira multiplicamos a sua contribuição por n, a contribuição total transformada das tiras é I_{s,\text{transf}}=2\cdot n\cdot I_{s,\text{cent}}=2\cdot n\cdot 0{,}075\,I_w = 0{,}15\,n\,I_w.Substituindo n=16{,}666\ldots: 0{,}15\cdot n =0{,}15\cdot 16{,}666\ldots =2{,}5.Assim I_{s,\text{transf}}=2{,}5\,I_w.
  • Momento de inércia total transformado: I_{\text{transformed}}=I_w + I_{s,\text{transf}}=I_w+2{,}5\,I_w=3{,}5\,I_w.
I_{\text{transformed}}=3{,}5\cdot 714\;583\;333{,}33 \approx 2\;500\;041\;666{,}67\\ \text{mm}^4\\ (\approx 2{,}50\times 10^9\\ \text{mm}^4).

Passo 5

Cálculo das tensões máximas na madeira
  • Usando a relação (ver Passo 2) \sigma_w(y)=-\frac{M\,y}{I_{\text{transformed}}}.No extremo |y|=y_{\max}=175\\ \text{mm} (escolhendo sinal tal que o topo seja compressão): \sigma_{w,\max}=\left|\frac{M\,y_{\max}}{I_{\text{transformed}}}\right| =\frac{4\;000\;000\cdot 175}{2\;500\;041\;666{,}67}\\ \text{N/mm}^2.Calcule: \text{numerador}=4\;000\;000\cdot 175=700\;000\;000.
\sigma_{w,\max}\approx\frac{700\;000\;000}{2\;500\;041\;666{,}67}\approx 0{,}280\\ \text{N/mm}^2=0{,}280\\ \text{MPa}.
Sinal: o topo (por convenção y>0) estará em compressão de -0{,}280\\ \text{MPa} e a base em tração +0{,}280\\ \text{MPa}.

Passo 6

Cálculo das tensões máximas no aço
  • Do Passo 2 temos \sigma_s(y)=n\,\sigma_w(y). Portanto no extremo \sigma_{s,\max}=n\,\sigma_{w,\max}=16{,}666\ldots \times 0{,}280\\ \text{MPa}\approx 4{,}67\\ \text{MPa}.Sinal: o topo do aço estará em compressão -4{,}67\\ \text{MPa} e a base em tração +4{,}67\\ \text{MPa}.

Passo 7

Interpretação e checagens rápidas (motivação para a prova)
  • As tensões encontradas são bastante pequenas comparadas aos limites de resistência do aço (muito abaixo do escoamento) e tipicamente também pequenas para a madeira (verifique as resistências admissão do projeto).
  • A razão pela qual a tensão no aço é muito maior que na madeira é simplesmente porque o aço é muito mais rígido ( E_s\gg E_w), de modo que, para a mesma curvatura, \sigma_s=\!E_s\kappa\!y cresce proporcionalmente.
  • Se for fornecido outro E_w (por exemplo 11\\ \text{GPa} ou 13\\ \text{GPa}), refaça n e os cálculos; a rotina é a mesma.

Resposta

\sigma_{\text{madeira,max}}=0{,}280\\ \text{MPa} (compressão no topo, tração na base)
\sigma_{\text{aço,max}}=4{,}67\\ \text{MPa}ç (compressão no topo, tração na base)

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