6.132. Se
, determine as tensões de tração e compressão máximas na viga.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar as tensões máximas de tração e de compressão na viga quando
.
Dados fornecidos (peguei estes números da imagem):
- Força:
. - Geometria da viga curva: raio (do centro de curvatura até a linha média de aplicação de
) igual a (valor indicado na figura). - Seção transversal (perfil em I) — dimensões retiradas da figura:
- largura da flange:
, - espessura da flange:
, - altura do corpo (web, entre as flanges):
, - espessura do web:
.
- largura da flange:
- A seção é simétrica em relação ao eixo horizontal mediano (logo o eixo neutro coincidirá com o centro geométrico da seção).
- O braço de momento para a força
(distância ao apoio onde produz o momento) é .
Observação (apenas identificado os dados): a resolução a seguir usa a fórmula clássica da flexão simples
, adequada quando se trata de um momento que produz flexão em uma seção cuja distribuição de tensões é compatível com a hipótese da flexão pura (a seção permanece plana e o material é elástico linear). Vou aplicar essa fórmula e calcular
da seção I detalhadamente.
Passo 2
Calcular o momento fletor na base devido a
.
- O momento fletor (valor absoluto) produzido pela carga
em relação ao apoio é
- Substituindo
e ,
Passo 3
Apresentar a fórmula da flexão simples e o que cada símbolo significa.
- Fórmula da tensão por flexão (linha neutra no eixo mediano, seção simétrica):
onde:
-
é a tensão normal devido à flexão (positiva em tração se for medido no sentido apropriado), -
é o momento fletor na seção (em ), -
é a distância da linha neutra até a fibra onde se quer a tensão (em mm). A distância máxima é , o ponto mais remoto da linha neutra, -
é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra (em ). -
No nosso caso, por simetria, a linha neutra está no meio da altura total da seção. A altura total da seção é
logo a distância até a fibra mais remota é
Passo 4
Calcular a área e o momento de inércia
da seção I (desdobramento em peças retangulares: web + 2 flanges).
-
Áreas:
- área do web:
, - área de cada flange:
, - área total:
.
- área do web:
-
Momento de inércia do web (em torno do eixo mediano, eixo horizontal que passa pelo centro da seção):
- O web é um retângulo de largura
e altura , com o seu eixo centroidal já coincidente com o eixo neutro da seção (porque colocamos o eixo neutro no centro da altura total e o web está centrado). Assim
- O web é um retângulo de largura
-
Momento de inércia de uma flange em torno de seu próprio eixo centroidal:A distância do centro da flange até o eixo neutro da seção (parallel axis) éPelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia de cada flange em relação ao eixo neutro é
-
Somando as contribuições:
Passo 5
Calcular a tensão máxima usando
.
- Já temos
, e . Então
- Como
, temos
Interpretação física (lado em tração/compressão):
- A magnitude da tensão máxima em tração e em compressão é a mesma (
), uma vez que a seção é simétrica e o carregamento produz um momento puro na seção. - Quanto a qual face está em tração ou compressão, isso depende do sentido do momento. Para a configuração mostrada (força
apontando para a direita na extremidade do arco, que gera um momento que tende a abrir a face convexa), a face convexa externa ficará em tração e a face côncava interna em compressão. (Se o sentido de fosse invertido, os papéis se invertem.)
Resposta
Tensão máxima de tração:
Tensão máxima de compressão:
Tensão máxima de compressão: