6.132. Se P=6 \mathrm{kN}, determine as tensões de tração e compressão máximas na viga.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar as tensões máximas de tração e de compressão na viga quando P=6\\ \text{kN}.
Dados fornecidos (peguei estes números da imagem):
  • Força: P=6\\ \text{kN}.
  • Geometria da viga curva: raio (do centro de curvatura até a linha média de aplicação de P) igual a 250\\ \text{mm} (valor indicado na figura).
  • Seção transversal (perfil em I) — dimensões retiradas da figura:
    • largura da flange: b_f=150\\ \text{mm},
    • espessura da flange: t_f=10\\ \text{mm},
    • altura do corpo (web, entre as flanges): h_w=150\\ \text{mm},
    • espessura do web: t_w=10\\ \text{mm}.
  • A seção é simétrica em relação ao eixo horizontal mediano (logo o eixo neutro coincidirá com o centro geométrico da seção).
  • O braço de momento para a força P (distância ao apoio onde produz o momento) é R=250\\ \text{mm}.
Observação (apenas identificado os dados): a resolução a seguir usa a fórmula clássica da flexão simples \sigma=\dfrac{M\,c}{I}, adequada quando se trata de um momento que produz flexão em uma seção cuja distribuição de tensões é compatível com a hipótese da flexão pura (a seção permanece plana e o material é elástico linear). Vou aplicar essa fórmula e calcular I da seção I detalhadamente.

Passo 2

Calcular o momento fletor na base devido a P.
  • O momento fletor (valor absoluto) produzido pela carga P em relação ao apoio é
M = P\cdot R.
  • Substituindo P=6\\ \text{kN}=6000\\ \text{N} e R=250\\ \text{mm},
M = 6000\\ \text{N}\times 250\\ \text{mm}=1\,500\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}.

Passo 3

Apresentar a fórmula da flexão simples e o que cada símbolo significa.
  • Fórmula da tensão por flexão (linha neutra no eixo mediano, seção simétrica):
\sigma = \frac{M\,y}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão normal devido à flexão (positiva em tração se y for medido no sentido apropriado),
  • M é o momento fletor na seção (em \text{N}\cdot\text{mm}),
  • y é a distância da linha neutra até a fibra onde se quer a tensão (em mm). A distância máxima é c, o ponto mais remoto da linha neutra,
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra (em \text{mm}^4).
  • No nosso caso, por simetria, a linha neutra está no meio da altura total da seção. A altura total da seção é
h_{\text{total}} = h_w + 2t_f = 150 + 2\cdot 10 = 170\\ \text{mm},
logo a distância até a fibra mais remota é
c = \frac{h_{\text{total}}}{2} = \frac{170}{2} = 85\\ \text{mm}.

Passo 4

Calcular a área e o momento de inércia I da seção I (desdobramento em peças retangulares: web + 2 flanges).
  • Áreas:
    • área do web: A_w = t_w\cdot h_w = 10\cdot 150 = 1500\\ \text{mm}^2,
    • área de cada flange: A_f = b_f\cdot t_f = 150\cdot 10 = 1500\\ \text{mm}^2,
    • área total: A = A_w + 2A_f = 1500 + 2\cdot 1500 = 4500\\ \text{mm}^2.
  • Momento de inércia do web (em torno do eixo mediano, eixo horizontal que passa pelo centro da seção):
    • O web é um retângulo de largura t_w e altura h_w, com o seu eixo centroidal já coincidente com o eixo neutro da seção (porque colocamos o eixo neutro no centro da altura total e o web está centrado). Assim
    I_w = \frac{t_w\,h_w^3}{12} = \frac{10\cdot 150^3}{12} = 2\,812\,500\\ \text{mm}^4.
  • Momento de inércia de uma flange em torno de seu próprio eixo centroidal:
    I_{f,cent}=\frac{b_f\,t_f^3}{12}=\frac{150\cdot 10^3}{12}=12\,500\\ \text{mm}^4.
    A distância do centro da flange até o eixo neutro da seção (parallel axis) é
    y_f = \frac{h_w}{2} + \frac{t_f}{2} = 75 + 5 = 80\\ \text{mm}.
    Pelo teorema dos eixos paralelos, o momento de inércia de cada flange em relação ao eixo neutro é
    I_f = I_{f,cent} + A_f\,y_f^2 = 12\,500 + 1500\cdot 80^2 = 12\,500 + 1500\cdot 6400 = 9\,612\,500\\ \text{mm}^4.
  • Somando as contribuições:
    I = I_w + 2I_f = 2\,812\,500 + 2\cdot 9\,612\,500 = 22\,037\,500\\ \text{mm}^4.

Passo 5

Calcular a tensão máxima usando \sigma_{\max}=\dfrac{M\,c}{I}.
  • Já temos M=1\,500\,000\\ \text{N}\cdot\text{mm}, c=85\\ \text{mm} e I=22\,037\,500\\ \text{mm}^4. Então
\sigma_{\max}=\frac{1\,500\,000\cdot 85}{22\,037\,500} =\frac{127\,500\,000}{22\,037\,500}\\ \text{N/mm}^2 \approx 5{,}79\\ \text{N/mm}^2.
  • Como 1\\ \text{N/mm}^2 = 1\\ \text{MPa}, temos
\sigma_{\max}\approx 5{,}79\\ \text{MPa}.
Interpretação física (lado em tração/compressão):
  • A magnitude da tensão máxima em tração e em compressão é a mesma ( 5{,}79\\ \text{MPa}), uma vez que a seção é simétrica e o carregamento produz um momento puro na seção.
  • Quanto a qual face está em tração ou compressão, isso depende do sentido do momento. Para a configuração mostrada (força P apontando para a direita na extremidade do arco, que gera um momento que tende a abrir a face convexa), a face convexa externa ficará em tração e a face côncava interna em compressão. (Se o sentido de P fosse invertido, os papéis se invertem.)

Resposta

Tensão máxima de tração: \sigma_{\text{tração}}=5{,}79\\ \text{MPa}çã
Tensão máxima de compressão: \sigma_{\text{compressão}}=5{,}79\\ \text{MPa}ã

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