*2.128. Se F tem intensidade de 55 lb , determine as intensidades das projeções de seus componentes que atuam ao longo do eixo x e do cabo A C.

Passo 1

O enunciado fornece apenas que a força tem intensidade 55\\ \text{lb} (ou seja, \|\vec{F}\|=55\\ \text{lb}) e pede as intensidades das projeções (componentes projetadas) dessa força ao longo do eixo x e ao longo do cabo A C.
Informações dadas:
  • \|\vec{F}\| = 55\\ \text{lb}.
O que é pedido:
  • A intensidade da projeção de \vec{F} ao longo do eixo x.
  • A intensidade da projeção de \vec{F} ao longo do cabo A C.
Informação que falta (necessária para obter valores numéricos):
  • A direção de \vec{F} em relação ao eixo x (por exemplo, o ângulo entre \vec{F} e o eixo x ou as componentes de \vec{F}).
  • A direção do cabo A C (por exemplo, as coordenadas dos pontos A e C ou o ângulo que o cabo A C faz com o eixo x).
Sem essas informações geométricas (ângulos ou coordenadas) não é possível calcular valores numéricos únicos para as projeções.

Passo 2

Conceito e fórmula para a projeção de uma força sobre um eixo (aula rapidinha e prática).
  • Se uma força tem magnitude F=\|\vec{F}\| e faz um ângulo \theta_x com o eixo x, a componente de \vec{F} ao longo do eixo x (projeção escalar) é dada por
F_x = F\cos\theta_x.
Explicação didática: imagine o triângulo retângulo formado pela decomposição da força em x e y. A hipotenusa tem comprimento F, o cateto na direção x tem comprimento F_x, e por definição de cosseno em triângulo retângulo \cos\theta_x = \dfrac{F_x}{F}, daí F_x=F\cos\theta_x.
Exemplo numérico ilustrativo (para fixar a ideia): se o ângulo com x fosse \theta_x=30^\circ, então
F_x = 55\cos 30^\circ = 55\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 47,6\\ \text{lb}.
Isto é só um exemplo: o valor real depende de \theta_x que precisa vir da figura.

Passo 3

Como projetar \vec{F} ao longo de uma direção qualquer (o cabo A C) usando vetores e produto escalar — método que você pode aplicar direto na prova se tiver coordenadas.
  • Se as coordenadas de A e C forem conhecidas, pode-se obter o vetor direção do cabo:
\vec{r}_{AC} = \vec{r}_C - \vec{r}_A.
  • O versor (vetor unitário) na direção de A C é
\hat{u}_{AC} = \dfrac{\vec{r}_{AC}}{\|\vec{r}_{AC}\|}.
  • Se \vec{F} for conhecido em componentes (por exemplo \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas), a intensidade da projeção de \vec{F} sobre A C é o produto escalar
F_{AC} = \vec{F}\cdot\hat{u}_{AC}.
  • Se em vez das componentes você souber apenas \|\vec{F}\| e o ângulo \theta_{AC} entre \vec{F} e a direção de A C, usa-se a fórmula simples
F_{AC} = \|\vec{F}\|\cos\theta_{AC}.
Exemplo concreto (ilustrativo): suponha que A=(0,0), C=(3,4) (logo \vec{r}_{AC}=(3,4) e \hat{u}_{AC}=(3/5,4/5)), e que \vec{F} faz \theta_x=30^\circ com o eixo x (então \vec{F}=55(\cos30^\circ,\sin30^\circ)). Então
F_{AC}=55\bigg(\cos30^\circ\cdot\frac{3}{5}+\sin30^\circ\cdot\frac{4}{5}\bigg).
Calculando numericamente (apenas para mostrar o processo):
F_{AC}=55\big(0{,}8660\cdot0{,}6+0{,}5\cdot0{,}8\big)=55(0{,}5196+0{,}4)=55\cdot0{,}9196\approx50{,}6\\ \text{lb}.
Repare que esse número veio do exemplo: valores reais dependem da figura.

Passo 4

Passo a passo prático que você deve fazer na prova quando tiver a figura/valores:
  1. Identifique na figura o ângulo entre \vec{F} e o eixo x (ou as componentes de \vec{F}). Se a figura der os componentes, extraia-os direto.
  2. Calcule F_x por F_x=55\cos\theta_x (ou use a componente F_x se já estiver fornecida).
  3. Identifique a direção do cabo A C: obtenha \vec{r}_{AC}=\vec{r}_C-\vec{r}_A e calcule \hat{u}_{AC}=\dfrac{\vec{r}_{AC}}{\|\vec{r}_{AC}\|}.
  4. Se tiver \vec{F} em componentes, calcule F_{AC}=\vec{F}\cdot\hat{u}_{AC}. Se tiver apenas o ângulo \theta_{AC} entre \vec{F} e A C, calcule F_{AC}=55\cos\theta_{AC}.
  5. Preste atenção ao sinal: se a projeção apontar na direção oposta à escolhida para a orientação positiva do cabo/eixo, o resultado será negativo — isso indica sentido contrário.
Força extra de ânimo: respira, identifica os ângulos na figura e aplica a receita acima — é direto quando a geometria está clara.

Resposta

Não é possível determinar numericamente as intensidades pedidas porque falta a orientação de \vec{F} e/ou a direção do cabo A C. Em termos gerais:
F_x = 55\cos\theta_x
F_{AC} = 55\cos\theta_{AC}

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