Uma barra prismática de seção transversal circular é carregada por forças de tração
. A barra tem comprimento
e diâmetro
. Ela é feita de liga de alumínio com módulo de elasticidade
e coeficiente de Poisson
. Se a barra sofrer um alongamento de
, qual é a diminuição no diâmetro
? Qual é a magnitude da carga
?
Passo 1
Vou listar claro o que o enunciado dá e o que pede (todos os números abaixo foram dados no enunciado).
- Comprimento da barra:
. - Diâmetro inicial:
. - Módulo de elasticidade:
. - Coeficiente de Poisson:
. - Alongamento axial observado:
.
O enunciado pede duas coisas:
- A diminuição no diâmetro
(ou seja, quanto o diâmetro muda devido ao alongamento axial); - A magnitude da carga axial
que gera esse alongamento.
Passo 2
Entender e calcular a deformação axial (alongamento relativo).
A definição de deformação axial (alongamento unitário) é
A definição de deformação axial (alongamento unitário) é
onde
é adimensional,
é o alongamento e
o comprimento original. Isso mede a variação relativa no comprimento (por exemplo,
significa
de alongamento).
Calculemos:
Passo 3
Calcular a tensão axial usando a lei de Hooke linear (válida para pequenas deformações elásticas).
A lei de Hooke uniaxial diz
A lei de Hooke uniaxial diz
onde
é a tensão (em
),
o módulo de elasticidade e
a deformação axial. Isso vem do fato de que, em regime elástico linear, tensão e deformação são proporcionais.
Substituindo:
Em unidades mais usuais,
.
Passo 4
Entender Poisson e calcular a deformação lateral.
O coeficiente de Poisson relaciona a deformação lateral (transversal) com a deformação axial por
O coeficiente de Poisson
O sinal negativo indica que, se a barra é alongada axialmente (
), suas dimensões transversais diminuem (
) — é exatamente o efeito de Poisson.
Com
e
do passo 2:
Passo 5
Converter a deformação lateral em variação de diâmetro.
A variação absoluta do diâmetro é
A variação absoluta do diâmetro é
Aqui
é o diâmetro inicial (em metros) e
é adimensional.
Substituindo:
Convertendo para milímetros (
):
Interpretação: o diâmetro diminui cerca de
. (O sinal negativo mostra a diminuição.)
Passo 6
Calcular a área da seção transversal circular para obter a força.
Área de um círculo de diâmetro :
Área de um círculo de diâmetro
Com
:
Passo 7
Calcular a carga axial
.
A relação entre tensão média e força é
A relação entre tensão média e força é
onde
do passo 3 e
do passo 6.
Substituindo os valores numéricos:
Em unidades práticas,
.
Passo 8
Resumo prático para a prova (receita rápida que dá certo):
- Calcule
. - Use
para a variação do diâmetro (efeito de Poisson). - Calcule
e depois com .
Vai direto ao ponto e salva tempo na hora da prova. Você está indo bem — lembra que é só aplicar duas fórmulas básicas com cuidado nas unidades.