Uma barra prismática de seção transversal circular é carregada por forças de tração P. A barra tem comprimento L=3,0 \mathrm{~m} e diâmetro d=30 \mathrm{~mm}. Ela é feita de liga de alumínio com módulo de elasticidade E=73 G P a e coeficiente de Poisson v=1 / 3. Se a barra sofrer um alongamento de 7,0 \mathrm{~mm}, qual é a diminuição no diâmetro \Delta d ? Qual é a magnitude da carga P ?

Passo 1

Vou listar claro o que o enunciado dá e o que pede (todos os números abaixo foram dados no enunciado).
  • Comprimento da barra: L=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro inicial: d=30\\ \mathrm{mm}=0{,}03\\ \mathrm{m}.
  • Módulo de elasticidade: E=73\\ \mathrm{GPa}=73\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
  • Coeficiente de Poisson: \nu=\tfrac{1}{3}.
  • Alongamento axial observado: \Delta L=7{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}007\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede duas coisas:
  1. A diminuição no diâmetro \Delta d (ou seja, quanto o diâmetro muda devido ao alongamento axial);
  2. A magnitude da carga axial P que gera esse alongamento.

Passo 2

Entender e calcular a deformação axial (alongamento relativo).
A definição de deformação axial (alongamento unitário) é
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L},
onde \varepsilon é adimensional, \Delta L é o alongamento e L o comprimento original. Isso mede a variação relativa no comprimento (por exemplo, \varepsilon=0{,}01 significa 1\% de alongamento).
Calculemos:
\varepsilon = \frac{0{,}007}{3{,}0}=0{,}002333\overline{3}\approx0{,}002333.

Passo 3

Calcular a tensão axial usando a lei de Hooke linear (válida para pequenas deformações elásticas).
A lei de Hooke uniaxial diz
\sigma = E\,\varepsilon,
onde \sigma é a tensão (em \mathrm{Pa}), E o módulo de elasticidade e \varepsilon a deformação axial. Isso vem do fato de que, em regime elástico linear, tensão e deformação são proporcionais.
Substituindo:
\sigma = (73\times10^{9})\cdot(0{,}002333\overline{3})=170\,333\,333{,}3\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}7033\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais, \sigma\approx170{,}3\\ \mathrm{MPa}.

Passo 4

Entender Poisson e calcular a deformação lateral.
O coeficiente de Poisson \nu relaciona a deformação lateral (transversal) com a deformação axial por
\varepsilon_{\text{lat}} = -\nu\,\varepsilon.
O sinal negativo indica que, se a barra é alongada axialmente ( \varepsilon>0), suas dimensões transversais diminuem ( \varepsilon_{\text{lat}}<0) — é exatamente o efeito de Poisson.
Com \nu=\tfrac{1}{3} e \varepsilon do passo 2:
\varepsilon_{\text{lat}} = -\frac{1}{3}\cdot0{,}002333\overline{3} = -0{,}0007777\overline{7}\approx -0{,}0007778.

Passo 5

Converter a deformação lateral em variação de diâmetro.
A variação absoluta do diâmetro é
\Delta d = d\,\varepsilon_{\text{lat}}.
Aqui d é o diâmetro inicial (em metros) e \varepsilon_{\text{lat}} é adimensional.
Substituindo:
\Delta d = 0{,}03\cdot(-0{,}0007777\overline{7}) = -0{,}000023333\overline{3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros ( 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}):
\Delta d = -0{,}023333\overline{3}\\ \mathrm{mm}\approx -0{,}0233\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o diâmetro diminui cerca de 0{,}0233\\ \mathrm{mm}. (O sinal negativo mostra a diminuição.)

Passo 6

Calcular a área da seção transversal circular para obter a força.
Área de um círculo de diâmetro d:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Com d=0{,}03\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0{,}03)^{2}}{4}=\pi\cdot0{,}000225=0{,}0007068583\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).

Passo 7

Calcular a carga axial P.
A relação entre tensão média e força é
P=\sigma A,
onde \sigma do passo 3 e A do passo 6.
Substituindo os valores numéricos:
P=(1{,}70333333\times10^{8})\cdot(0{,}0007068583)=120\,440\\ \mathrm{N}\approx1{,}2044\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Em unidades práticas, P\approx120{,}4\\ \mathrm{kN}.

Passo 8

Resumo prático para a prova (receita rápida que dá certo):
  • Calcule \varepsilon=\Delta L/L.
  • Use \Delta d=d(-\nu\varepsilon) para a variação do diâmetro (efeito de Poisson).
  • Calcule \sigma=E\varepsilon e depois P=\sigma A com A=\pi d^{2}/4.
    Vai direto ao ponto e salva tempo na hora da prova. Você está indo bem — lembra que é só aplicar duas fórmulas básicas com cuidado nas unidades.

Resposta

\Delta d = -0{,}0233\\ \mathrm{mm}
P = 1{,}2044\times10^{5}\\ \mathrm{N}

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