1^{2} QUESTÃO ( 30 \% ): Após a realização de sondagens em uma área verificou-se que o perfil geotécnico é composto por uma camada de areia ( \gamma_{\text {sat }}=17,3 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} ) com 4 m de espessura apoiada sobre uma camada de argila ( \mathrm{e}=1,2 e \gamma_{\text {sat }}=19,2 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} ) com 3 m de espessura que está assente sobre um topo rochoso. Após a realização de um ensaio de adensamento com uma amostra coletada no centro da camada de argila, pode-se determinar a tensão de pré-adensamento ( 90 kPa ), o índice de recompressão (0,05) e o índice de compressão (0,40). Sabendo-se que a camada de areia é incompressível e que o nível d’água coincide com a superfície da camada de areia, pede-se calcular o recalque total que a camada de argila sofrerá com a construção de um aterro ( \gamma_{\text {nat }}=18,1 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3} ) compactado de 4 m de altura nessa área. (Utilizar \gamma_{\text {água }}=9,81 \mathrm{kN} / \mathrm{m}^{3}á )
SOLUÇÃO:

Passo 1

O enunciado pede calcular o recalque total da camada de argila (espessura 3 m) quando se constrói um aterro compactado de 4 m de altura sobre a área. Vou listar claramente os dados fornecidos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Espessuras:
    • Areia: 4\\ \text{m} (camada superior, incompressível segundo o enunciado).
    • Argila: 3\\ \text{m} (camada compressível, sobre rocha).
  • Pesos específicos saturados:
    • Areia saturada: \gamma_{\text{sat,sand}} = 17,3\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
    • Argila saturada: \gamma_{\text{sat,clay}} = 19,2\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
  • Peso específico da água: \gamma_{\text{água}} = 9,81\\ \mathrm{kN/m^{3}}á.
  • Nível d’água: coincide com a superfície da camada de areia (ou seja, nível d’água à cota do terreno original).
  • Ensaio de adensamento (amostra do centro da camada de argila):
    • Tensão de pré-adensamento: \sigma'_p = 90\\ \mathrm{kPa}.
    • Índice de recompressão: C_r = 0,05.
    • Índice de compressão: C_c = 0,40.
    • Índice de vazios inicial: e_0 = 1,20.
  • Aterro a ser construído:
    • Altura: H_f = 4\\ \text{m}.
    • Peso específico natural do aterro (compactado): \gamma_{\text{nat}} = 18,1\\ \mathrm{kN/m^{3}}.
O que preciso calcular: o recalque total (valor numérico, em metros ou mm) da camada de argila devido ao carregamento do aterro.

Passo 2

Entendendo como iremos calcular o recalque (aula rápida e objetivo).
  • Conceito de tensões:
    • Tensões totais verticais \sigma_v somam os pesos dos materiais acima do ponto considerado.
    • Pressão de poros (ponto sob a superfície livre da água) é u=\gamma_{\text{água}}\timesá profundidade abaixo da superfície livre.
    • Tensão efetiva \sigma'=\sigma_v - u. O adensamento (recalque) depende da variação da tensão efetiva.
  • Procedimento prático que vamos usar:
    1. Calcular a tensão efetiva inicial no centro da camada de argila (local da amostra).
    2. Calcular o aumento de tensão vertical no centro da argila devido ao aterro.
    3. Determinar a nova tensão efetiva final e ver se ultrapassa a tensão de pré-adensamento. Se ultrapassar, parte da compressão será em recompressão (uso de C_r) e parte em compressão virgem (uso de C_c).
    4. Calcular a variação do índice de vazios \Delta e nas duas faixas usando \Delta e = -C\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_{\text{final}}}{\sigma'_{\text{inicial}}}\right)(usar C_r quando a tensão estiver abaixo de \sigma'_p e C_c quando acima), e então obter o recalque por S = -\frac{H\,\Delta e}{1+e_0}.
    • Aqui H é a espessura da camada compressível (argila), e_0 é o índice de vazios inicial, e o sinal é escolhido para que S>0 seja assentamento (redução de altura).

Passo 3

Calcular profundidade do ponto onde a amostra foi retirada (centro da argila) e as tensões iniciais.
  • Profundidade até o centro da argila: z = 4{,}0\\ \text{m (areia)} + \frac{3{,}0}{2}\\ \text{m (metade da argila)} = 5{,}5\\ \text{m}.
  • Tensão vertical total no ponto (somando os pesos saturados das camadas acima até o ponto): \sigma_{v0} = \gamma_{\text{sat,sand}}\cdot 4{,}0 + \gamma_{\text{sat,clay}}\cdot 1{,}5.Substituindo: \sigma_{v0} = 17{,}3\cdot 4{,}0 + 19{,}2\cdot 1{,}5 = 69{,}2 + 28{,}8 = 98{,}0\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão de poros inicial (nível d’água na superfície -> profundidade = z): u_0 = \gamma_{\text{água}}\cdot z = 9{,}81\cdot 5{,}5 = 53{,}955\\ \mathrm{kPa}.á
  • Portanto a tensão efetiva inicial no centro da argila é \sigma'_0 = \sigma_{v0} - u_0 = 98{,}0 - 53{,}955 = 44{,}045\\ \mathrm{kPa}.

Passo 4

Calcular o aumento de tensão vertical devido ao aterro e a nova tensão efetiva.
  • Aumento de tensão total em profundidade devido ao aterro de altura H_f é, para carregamento uniforme diretamente acima, aproximado por: \Delta\sigma_v = \gamma_{\text{nat}}\cdot H_f = 18{,}1\cdot 4{,}0 = 72{,}4\\ \mathrm{kPa}.(Comentário didático: usamos aqui a aproximação usual de que o aumento de tensão vertical diretamente abaixo de um aterro uniforme é aproximadamente igual ao peso do aterro; para um ponto central e um aterro extenso essa é uma estimativa adequada.)
  • No regime de adensamento de longo prazo a sobrepressão de poros dissipa e o aumento de tensão efetiva no longo prazo será aproximadamente igual ao aumento de tensão total aplicado: \Delta\sigma' \approx \Delta\sigma_v = 72{,}4\\ \mathrm{kPa}.
  • Então a tensão efetiva final no centro da argila: \sigma'_f = \sigma'_0 + \Delta\sigma' = 44{,}045 + 72{,}4 = 116{,}445\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Comparar \sigma'_0, \sigma'_p e \sigma'_f para identificar faixas de comportamento (recompressão vs compressão virgem).
  • Valores: \sigma'_0 = 44{,}045\\ \mathrm{kPa},\qquad \sigma'_p = 90\\ \mathrm{kPa},\qquad \sigma'_f = 116{,}445\\ \mathrm{kPa}.
  • Observação: \sigma'_0 < \sigma'_p (o estado inicial está abaixo da pré-adensão), e \sigma'_f > \sigma'_p. Portanto o acréscimo de tensão leva a duas zonas de comportamento na curva e versus \log\sigma':
    1. De \sigma'_0 até \sigma'_p: recompressão (índice C_r).
    2. De \sigma'_p até \sigma'_f: compressão virgem (índice C_c).

Passo 6

Calcular a variação do índice de vazios na etapa de recompressão ( \sigma'_0 \to \sigma'_p).
  • Fórmula (linha de recompressão): \Delta e_r = -C_r\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_p}{\sigma'_0}\right).
  • Substituindo os valores: \frac{\sigma'_p}{\sigma'_0} = \frac{90}{44{,}045}\approx 2{,}0439,
\log_{10}\!(2{,}0439)\approx 0{,}3105,
\Delta e_r = -0{,}05\times 0{,}3105 \approx -0{,}015525.

Passo 7

Calcular a variação do índice de vazios na etapa de compressão virgem ( \sigma'_p \to \sigma'_f).
  • Fórmula (linha de compressão virgem): \Delta e_c = -C_c\log_{10}\!\left(\frac{\sigma'_f}{\sigma'_p}\right).
  • Substituindo: \frac{\sigma'_f}{\sigma'_p} = \frac{116{,}445}{90}\approx 1{,}29383,
\log_{10}\!(1{,}29383)\approx 0{,}11166,
\Delta e_c = -0{,}40\times 0{,}11166 \approx -0{,}044664.

Passo 8

Somar as variações de índice de vazios e obter \Delta e total.
  • \Delta e = \Delta e_r + \Delta e_c \approx -0{,}015525 + (-0{,}044664) = -0{,}060189.(isto é, o índice de vazios diminui em cerca de 0{,}0602.)

Passo 9

Converter a variação de índice de vazios em recalque (assentamento) usando a espessura da camada de argila.
  • Fórmula de ligação entre variação de vazios e assentamento: S = -\frac{H\,\Delta e}{1+e_0},onde H=3{,}0\\ \text{m} (espessura da argila) e e_0=1{,}20.
  • Substituindo: 1+e_0 = 1 + 1{,}20 = 2{,}20,
S = -\frac{3{,}0\times(-0{,}060189)}{2{,}20} = \frac{3{,}0\times 0{,}060189}{2{,}20}.
Calculando:
S \approx \frac{0{,}180567}{2{,}20} \approx 0{,}082076\\ \text{m}.
Em milímetros:
S \approx 82{,}08\\ \text{mm}.

Passo 10

Interpretação final e observações práticas rápidas (pequena aula de intuição).
  • Resultado indica um recalque total da camada de argila da ordem de 8{,}2\\ \text{cm}.
  • Observações: usamos a aproximação de que o aumento de tensão efetiva no longo prazo é igual ao aumento de tensão total do aterro (p.ex., consideramos que as sobrepressões de poro dissipam). Também assumimos influência vertical plena (aterro extenso e ponto central); para situações reais pode-se usar fatores de influência ou soluções elásticas mais detalhadas, mas para prova e dimensionamento preliminar essa abordagem é a esperada.
  • Força: você fez bem em pedir uma resolução passo a passo — esse é exatamente o raciocínio que se espera em prova: cálculo de tensões, comparação com pré-adensamento, aplicação de C_r e C_c, soma das variações de vazios e conversão para recalque.

Resposta

\;0{,}0821\\ \text{m} \approx 82{,}1\\ \text{mm}

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