129 Assinale a opção que corresponde a um intervalo I tal que, para algum t \in I, S_{\mathrm{M} 1}(t)=S_{\mathrm{M} 2}(t).
(A) I=(20,25)
(B) I=(30,35)
(C) I=(40,45)

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha a opção correta entre três intervalos I tal que exista algum t\in I com
S_{\mathrm{M}1}(t)=S_{\mathrm{M}2}(t).
As opções dadas são:
\text{(A) }I=(20,25),\qquad \text{(B) }I=(30,35),\qquad \text{\text{(C)} }I=(40,45).
Informações que o enunciado forneceu explicitamente: apenas as três alternativas de intervalos.
Informações que faltam e que seriam necessárias para resolver: as expressões das funções S_{\mathrm{M}1}(t) e S_{\mathrm{M}2}(t) ou um gráfico/ tabela que mostre seus valores/posições ao longo do tempo. Sem essas informações não temos dados numéricos nem visuais para identificar algum t em que as duas sejam iguais.

Passo 2

O que significa, em termos práticos, procurar t tal que S_{\mathrm{M}1}(t)=S_{\mathrm{M}2}(t)?
Definimos a função diferença
f(t)=S_{\mathrm{M}1}(t)-S_{\mathrm{M}2}(t).
Um t que satisfaz S_{\mathrm{M}1}(t)=S_{\mathrm{M}2}(t) é exatamente uma raiz de f, ou seja, um ponto onde f(t)=0. Assim o problema se reduz a verificar se existe alguma raiz de f dentro de cada intervalo candidato.

Passo 3

Métodos gerais para encontrar ou garantir a existência de um t com f(t)=0:
  • Método algébrico: se tenho fórmulas explícitas para S_{\mathrm{M}1}(t) e S_{\mathrm{M}2}(t), eu monto a equação
    S_{\mathrm{M}1}(t)-S_{\mathrm{M}2}(t)=0
    e resolvo para t. Se a solução t^\ast cair dentro de um dos intervalos, escolho essa opção.
  • Método gráfico: se tenho o gráfico das duas funções, procuro pontos de interseção entre as curvas y=S_{\mathrm{M}1}(t) e y=S_{\mathrm{M}2}(t). A abscissa de cada interseção é um t que resolve a igualdade; verifico em qual intervalo essa abscissa está.
  • Método pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI): supondo que f é contínua num intervalo fechado [a,b], se f(a) e f(b) têm sinais opostos (por exemplo f(a)<0 e f(b)>0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Assim, para cada opção I=(\alpha,\beta) eu poderia calcular f(\alpha) e f(\beta) (ou aproximá-los) e ver se há mudança de sinal — isso garantiria existência de uma raiz em I.

Passo 4

Explicando o TVI de forma bem prática (vai te salvar em muitas provas):
O Teorema do Valor Intermediário diz que se f é contínua em [a,b] e L é um número entre f(a) e f(b), então existe c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=L. No nosso caso escolhemos L=0. Portanto, se f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0.
O que cada símbolo significa:
  • f(t) é a função diferença S_{\mathrm{M}1}(t)-S_{\mathrm{M}2}(t).
  • a,b são os extremos do intervalo que eu estiver testando.
  • Continuidade: tipicamente funções posição em problemas físicos são contínuas. Se for esse o caso, podemos aplicar o TVI.
Como aplicar na prática na prova (passo a passo rápido):
  1. Calcular (ou ler no gráfico) f(a) e f(b).
  2. Se f(a)\cdot f(b)<0, então existe raiz em (a,b).
  3. Se f(a)=0 ou f(b)=0, a igualdade ocorre exatamente num extremo (a pergunta pede t\in I com I aberto — então raiz exatamente no extremo não conta; cuidado com isso).
  4. Se f(a)\cdot f(b)>0, não podemos garantir raiz pelo TVI — pode haver pares de raízes ou nenhuma; então precisamos de mais informação (gráfico, avaliação adicional, derivadas, etc.).

Passo 5

Exemplo ilustrativo pequeno (para fixar a ideia):
Suponha
S_{\mathrm{M}1}(t)=2t,\qquad S_{\mathrm{M}2}(t)=t+10.
Então
f(t)=2t-(t+10)=t-10.
Resolver f(t)=0 t=10. Logo a igualdade ocorre em t=10. Das opções do enunciado, nenhum dos intervalos (20,25),(30,35),(40,45) contém 10, portanto nenhuma opção seria correta para este exemplo. Esse exemplo mostra que, sem saber as funções ou o gráfico, não dá para decidir.

Passo 6

Aplicando tudo ao enunciado que você me deu: o enunciado não fornece as expressões de S_{\mathrm{M}1}(t) e S_{\mathrm{M}2}(t), nem fornece um gráfico ou tabela de valores. Como os métodos válidos (resolver a equação, observar interseção no gráfico ou usar o TVI) dependem de conhecer valores ou comportamento de f(t) nos extremos de cada intervalo, não há informação suficiente para decidir se existe ou não um t em qualquer um dos intervalos dados que satisfaça S_{\mathrm{M}1}(t)=S_{\mathrm{M}2}(t).

Passo 7

Conclusão e orientação final: não posso determinar qual opção é correta com os dados fornecidos. Se você tiver o gráfico ou as fórmulas de S_{\mathrm{M}1} e S_{\mathrm{M}2}, me envie que eu refaço a resolução passo a passo — eu te mostro exatamente como calcular f nos extremos, aplicar o TVI e identificar o intervalo certo. Força aí — dá pra resolver quando tivermos os dados!

Resposta

Não é possível determinar: faltam as expressões ou o gráfico de S_{\mathrm{M}1}(t) e S_{\mathrm{M}2}(t).

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