129 Assinale a opção que corresponde a um intervalo
tal que, para algum
.
(A)
(B)
(C)
(A)
(B)
(C)
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha a opção correta entre três intervalos
tal que exista algum
com
As opções dadas são:
Informações que o enunciado forneceu explicitamente: apenas as três alternativas de intervalos.
Informações que faltam e que seriam necessárias para resolver: as expressões das funções e
ou um gráfico/ tabela que mostre seus valores/posições ao longo do tempo. Sem essas informações não temos dados numéricos nem visuais para identificar algum
em que as duas sejam iguais.
Informações que faltam e que seriam necessárias para resolver: as expressões das funções
Passo 2
O que significa, em termos práticos, procurar
tal que
?
Definimos a função diferença
Definimos a função diferença
Um
que satisfaz
é exatamente uma raiz de
, ou seja, um ponto onde
. Assim o problema se reduz a verificar se existe alguma raiz de
dentro de cada intervalo candidato.
Passo 3
Métodos gerais para encontrar ou garantir a existência de um
com
:
-
Método algébrico: se tenho fórmulas explícitas para
e , eu monto a equação e resolvo para. Se a solução cair dentro de um dos intervalos, escolho essa opção. -
Método gráfico: se tenho o gráfico das duas funções, procuro pontos de interseção entre as curvas
e . A abscissa de cada interseção é um que resolve a igualdade; verifico em qual intervalo essa abscissa está. -
Método pelo Teorema do Valor Intermediário (TVI): supondo que
é contínua num intervalo fechado , se e têm sinais opostos (por exemplo e ), então existe pelo menos um tal que . Assim, para cada opção eu poderia calcular e (ou aproximá-los) e ver se há mudança de sinal — isso garantiria existência de uma raiz em .
Passo 4
Explicando o TVI de forma bem prática (vai te salvar em muitas provas):
O Teorema do Valor Intermediário diz que se é contínua em
e
é um número entre
e
, então existe
tal que
. No nosso caso escolhemos
. Portanto, se
e
têm sinais opostos, existe
com
.
O que cada símbolo significa:
O Teorema do Valor Intermediário diz que se
O que cada símbolo significa:
-
é a função diferença . -
são os extremos do intervalo que eu estiver testando. - Continuidade: tipicamente funções posição em problemas físicos são contínuas. Se for esse o caso, podemos aplicar o TVI.
Como aplicar na prática na prova (passo a passo rápido):
- Calcular (ou ler no gráfico)
e . - Se
, então existe raiz em . - Se
ou , a igualdade ocorre exatamente num extremo (a pergunta pede com aberto — então raiz exatamente no extremo não conta; cuidado com isso). - Se
, não podemos garantir raiz pelo TVI — pode haver pares de raízes ou nenhuma; então precisamos de mais informação (gráfico, avaliação adicional, derivadas, etc.).
Passo 5
Exemplo ilustrativo pequeno (para fixar a ideia):
Suponha
Suponha
Então
Resolver
dá
. Logo a igualdade ocorre em
. Das opções do enunciado, nenhum dos intervalos
contém
, portanto nenhuma opção seria correta para este exemplo. Esse exemplo mostra que, sem saber as funções ou o gráfico, não dá para decidir.
Passo 6
Aplicando tudo ao enunciado que você me deu: o enunciado não fornece as expressões de
e
, nem fornece um gráfico ou tabela de valores. Como os métodos válidos (resolver a equação, observar interseção no gráfico ou usar o TVI) dependem de conhecer valores ou comportamento de
nos extremos de cada intervalo, não há informação suficiente para decidir se existe ou não um
em qualquer um dos intervalos dados que satisfaça
.
Passo 7
Conclusão e orientação final: não posso determinar qual opção é correta com os dados fornecidos. Se você tiver o gráfico ou as fórmulas de
e
, me envie que eu refaço a resolução passo a passo — eu te mostro exatamente como calcular
nos extremos, aplicar o TVI e identificar o intervalo certo. Força aí — dá pra resolver quando tivermos os dados!
Resposta
Não é possível determinar: faltam as expressões ou o gráfico de
e
.