126 Considerando l=6 \mathrm{~cm} e h=4 \mathrm{~cm}, calcule, \mathbf{e m} \mathbf{c m}^{2}, o valor da área da superfície total da pirâmide regular. Após realizar todos os cálculos solicitados, despreze, para a marcação no Caderno de Respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, caso ela exista.

Passo 1

O enunciado dá os valores \ell=6\\ \mathrm{cm} e h=4\\ \mathrm{cm} e pede a área da superfície total da pirâmide regular, em \mathrm{cm}^2. Também pede que, no resultado final, se houver parte fracionária, ela seja desprezada para marcação. Informações fornecidas explicitamente: \ell=6\\ \mathrm{cm} e h=4\\ \mathrm{cm}. Informação que falta no enunciado (e que é necessária para obter um valor numérico único): a forma/numero de lados da base (por exemplo, se a base é um quadrado, triângulo equilátero, pentágono regular etc.) ou o comprimento do lado da base (ou o perímetro da base). Sem saber o tipo da base regular (valor de n) ou seu lado/perímetro não é possível obter um único valor numérico para a área total. Neste passo eu apenas organizei o que foi dado e o que falta; ainda não resolvi nada.

Passo 2

Conceito e fórmula geral que vamos precisar. A área da superfície total A_{tot} de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral:
A_{tot} = A_{base} + A_{lat}.
A área lateral de uma pirâmide regular (base um polígono regular) pode ser calculada por
A_{lat} = \frac{P_b \cdot s}{2},
onde P_b é o perímetro da base e s é a apótema lateral (altura inclinada de cada face triangular, também chamada de altura lateral ou geratriz da face). A área da base depende do tipo de polígono regular: se a base tem n lados de comprimento a e apótema do polígono r (o raio da circunferência inscrita no polígono), então
A_{base} = \frac{P_b \cdot r}{2} = \frac{n a \cdot r}{2}.
Estas fórmulas são fundamentais: perceba que para calcular A_{tot} precisamos de P_b e de s (ou de a e r).

Passo 3

Entendendo as diversas medidas e suas relações numa pirâmide regular. Há três comprimentos úteis na seção axial que envolve o centro da base e um vértice da base:
  • h é a altura da pirâmide (distância do vértice até o centro da base).
  • \ell pode representar duas coisas em diferentes enunciados: a aresta lateral (distância do vértice ao vértice da base) ou a geratriz/slant height/apótema lateral s (distância do vértice até o ponto médio de um lado da base). É preciso saber qual interpretação o enunciado usa; aqui essa informação não foi dada.
  • R é o raio da circunferência que passa pelos vértices da base (circunraio do polígono regular).
  • r é o apótema do polígono base (raio da circunferência inscrita na base).
    Relações geométricas (triângulos retângulos na seção axial):
\ell^2 = h^2 + R^2 \qquad\text{(se \(\ell\) for a aresta lateral, vértice até vértice da base)}ééé
s^2 = h^2 + r^2 \qquad\text{(definição do apótema lateral \(s\))}çãó
Para um polígono regular de n lados de comprimento a temos
R = \frac{a}{2\sin\!\big(\frac{\pi}{n}\big)},\qquad r = \frac{a}{2\tan\!\big(\frac{\pi}{n}\big)},\qquad P_b = n a.
Essas fórmulas permitem passar do comprimento do lado a para R, r e P_b.

Passo 4

Mostrando que os dados fornecidos não são suficientes por si só. Se o enunciado diz apenas \ell=6\\ \mathrm{cm} e h=4\\ \mathrm{cm} sem especificar se \ell é a aresta lateral ou a apótema lateral, nem informar n nem o lado a, então não dá para obter um único número para A_{tot}. Vou expor as duas interpretações possíveis para \ell e o que cada uma implica:
Caso A — \ell é a aresta lateral (do vértice ao vértice da base): então
R=\sqrt{\ell^2-h^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Com isto podemos expressar o lado a em função de n por a=2R\sin\!\big(\frac{\pi}{n}\big); o apótema do polígono base fica
r=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{n}\big)\,R = 2\sqrt{5}\cos\!\big(\tfrac{\pi}{n}\big),
e a apótema lateral
s=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{16 + \big(2\sqrt{5}\cos\!\tfrac{\pi}{n}\big)^2}=\sqrt{16+20\cos^2\!\tfrac{\pi}{n}}.
Então a área total pode ser escrita em função de n apenas (sem informações adicionais) como
A_{tot}(n)=n\sin\!\big(\tfrac{\pi}{n}\big)\cdot 2\sqrt{5}\\ \big(s+r\big),
mas sem um valor numérico para n não há número final único.
Caso B — \ell é a apótema lateral s (slant height): então s=6. Da relação s^2=h^2+r^2 obtemos
r=\sqrt{s^2-h^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Com r conhecido ainda precisamos do perímetro P_b (ou do n e do a) para calcular A_{lat}=\tfrac{P_b s}{2} e A_{base}=\tfrac{P_b r}{2}. Novamente, sem P_b ou n e a, não há um valor numérico único.

Passo 5

Exemplo concreto (caso prático de como você faria na prova se soubesse o tipo da base). Vou pegar como exemplo didático a base quadrada (pirâmide quadrangular regular), porque esse é um caso muito comum nas provas. Mostro as duas interpretações de \ell para ver como os números mudam.
Exemplo 1: supondo que \ell seja a aresta lateral e a base seja um quadrado ( n=4).
  • Calculamos R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
  • Para n=4, \sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • O lado da base é a=2R\sin\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=\sqrt{2}\,R=2\sqrt{10}.
  • O apótema do polígono base é r=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)R=\sqrt{10}.
  • A apótema lateral é s=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{16+10}=\sqrt{26}.
  • Perímetro da base P_b=4a=8\sqrt{10}.
  • Área lateral A_{lat}=\dfrac{P_b s}{2}=\dfrac{8\sqrt{10}\cdot\sqrt{26}}{2}=4\sqrt{260}.
    Numericamente \sqrt{260}\approx16{,}1245, então A_{lat}\approx4\cdot16{,}1245\approx64{,}498.
  • Área da base A_{base}=a^2=(2\sqrt{10})^2=40.
  • Área total A_{tot}\approx40+64{,}498\approx104{,}498. Desprezando a parte fracionária como manda o enunciado, daríamos 104\\ \mathrm{cm}^2.
Exemplo 2: supondo que \ell seja a apótema lateral s=6 e a base seja quadrada ( n=4).
  • Aqui s=6 e h=4 dão r=\sqrt{s^2-h^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
  • Para o quadrado, a=2r=4\sqrt{5}.
  • Perímetro P_b=4a=16\sqrt{5}.
  • Área lateral A_{lat}=\dfrac{P_b s}{2}=\dfrac{16\sqrt{5}\cdot 6}{2}=48\sqrt{5}\approx107{,}332.
  • Área da base A_{base}=a^2=(4\sqrt{5})^2=80.
  • Área total A_{tot}\approx80+107{,}332\approx187{,}332. Desprezando a parte fracionária dá 187\\ \mathrm{cm}^2.
Observação: os dois resultados são bem diferentes ( 104 versus 187) dependendo da interpretação de \ell e do tipo de base; isto mostra por que é crucial saber o que exatamente l representa e qual é a base.

Passo 6

Resumo pedagógico do que fazer na prova, passo a passo, caso apareça um enunciado parecido:
  1. Identifique claramente o que é \ell: a aresta lateral (vértice até vértice da base) ou a apótema lateral/geratriz s (vértice até o ponto médio de um lado). O enunciado deve dizer ou a figura mostra.
  2. Identifique o tipo de base: quantos lados tem ( n) ou qual é o comprimento do lado a ou o perímetro P_b. Sem isso, não há número único.
  3. Use as relações: \ell^2 = h^2 + R^2,\qquad s^2 = h^2 + r^2,e para polígono regular R=\frac{a}{2\sin(\pi/n)},\quad r=\frac{a}{2\tan(\pi/n)},\quad P_b=n a.
  4. Calcule r e s conforme necessário, depois A_{lat}=\frac{P_b s}{2},\qquad A_{base}=\frac{P_b r}{2},\qquad A_{tot}=A_{base}+A_{lat}.
  5. Ao final, se o enunciado pedir para desprezar a parte fracionária, aplique o piso do valor final (remova a parte decimal).

Passo 7

Conclusão direta para este enunciado específico: com apenas os dados \ell=6\\ \mathrm{cm} e h=4\\ \mathrm{cm} e sem indicação do que exatamente \ell representa (aresta lateral ou apótema lateral) nem informação sobre a base (número de lados n ou lado/perímetro), não é possível determinar um único valor numérico para a área da superfície total. Eu mostrei como proceder e dei exemplos numéricos no caso da base quadrada para ilustrar que valores diferentes surgem dependendo das interpretações e dados adicionais.

Resposta

Não é possível determinar um valor numérico único para a área da superfície total com apenas \ell=6\\ \mathrm{cm} e h=4\\ \mathrm{cm}: informação insuficiente.

Exercícios relacionados