126 Considerando
e
, calcule,
, o valor da área da superfície total da pirâmide regular. Após realizar todos os cálculos solicitados, despreze, para a marcação no Caderno de Respostas, a parte fracionária do resultado final obtido, caso ela exista.
Passo 1
O enunciado dá os valores
e
e pede a área da superfície total da pirâmide regular, em
. Também pede que, no resultado final, se houver parte fracionária, ela seja desprezada para marcação. Informações fornecidas explicitamente:
e
. Informação que falta no enunciado (e que é necessária para obter um valor numérico único): a forma/numero de lados da base (por exemplo, se a base é um quadrado, triângulo equilátero, pentágono regular etc.) ou o comprimento do lado da base (ou o perímetro da base). Sem saber o tipo da base regular (valor de
) ou seu lado/perímetro não é possível obter um único valor numérico para a área total. Neste passo eu apenas organizei o que foi dado e o que falta; ainda não resolvi nada.
Passo 2
Conceito e fórmula geral que vamos precisar. A área da superfície total
de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral:
A área lateral de uma pirâmide regular (base um polígono regular) pode ser calculada por
onde
é o perímetro da base e
é a apótema lateral (altura inclinada de cada face triangular, também chamada de altura lateral ou geratriz da face). A área da base depende do tipo de polígono regular: se a base tem
lados de comprimento
e apótema do polígono
(o raio da circunferência inscrita no polígono), então
Estas fórmulas são fundamentais: perceba que para calcular
precisamos de
e de
(ou de
e
).
Passo 3
Entendendo as diversas medidas e suas relações numa pirâmide regular. Há três comprimentos úteis na seção axial que envolve o centro da base e um vértice da base:
-
é a altura da pirâmide (distância do vértice até o centro da base). -
pode representar duas coisas em diferentes enunciados: a aresta lateral (distância do vértice ao vértice da base) ou a geratriz/slant height/apótema lateral (distância do vértice até o ponto médio de um lado da base). É preciso saber qual interpretação o enunciado usa; aqui essa informação não foi dada. -
é o raio da circunferência que passa pelos vértices da base (circunraio do polígono regular). -
é o apótema do polígono base (raio da circunferência inscrita na base).
Relações geométricas (triângulos retângulos na seção axial):
Para um polígono regular de
lados de comprimento
temos
Essas fórmulas permitem passar do comprimento do lado
para
,
e
.
Passo 4
Mostrando que os dados fornecidos não são suficientes por si só. Se o enunciado diz apenas
e
sem especificar se
é a aresta lateral ou a apótema lateral, nem informar
nem o lado
, então não dá para obter um único número para
. Vou expor as duas interpretações possíveis para
e o que cada uma implica:
Caso A —
é a aresta lateral (do vértice ao vértice da base): então
Com isto podemos expressar o lado
em função de
por
; o apótema do polígono base fica
e a apótema lateral
Então a área total pode ser escrita em função de
apenas (sem informações adicionais) como
mas sem um valor numérico para
não há número final único.
Caso B —
é a apótema lateral
(slant height): então
. Da relação
obtemos
Com
conhecido ainda precisamos do perímetro
(ou do
e do
) para calcular
e
. Novamente, sem
ou
e
, não há um valor numérico único.
Passo 5
Exemplo concreto (caso prático de como você faria na prova se soubesse o tipo da base). Vou pegar como exemplo didático a base quadrada (pirâmide quadrangular regular), porque esse é um caso muito comum nas provas. Mostro as duas interpretações de
para ver como os números mudam.
Exemplo 1: supondo que
seja a aresta lateral e a base seja um quadrado (
).
- Calculamos
. - Para
, . - O lado da base é
. - O apótema do polígono base é
. - A apótema lateral é
. - Perímetro da base
. - Área lateral
.
Numericamente, então . - Área da base
. - Área total
. Desprezando a parte fracionária como manda o enunciado, daríamos .
Exemplo 2: supondo que
seja a apótema lateral
e a base seja quadrada (
).
- Aqui
e dão . - Para o quadrado,
. - Perímetro
. - Área lateral
. - Área da base
. - Área total
. Desprezando a parte fracionária dá .
Observação: os dois resultados são bem diferentes (
versus
) dependendo da interpretação de
e do tipo de base; isto mostra por que é crucial saber o que exatamente
representa e qual é a base.
Passo 6
Resumo pedagógico do que fazer na prova, passo a passo, caso apareça um enunciado parecido:
- Identifique claramente o que é
: a aresta lateral (vértice até vértice da base) ou a apótema lateral/geratriz (vértice até o ponto médio de um lado). O enunciado deve dizer ou a figura mostra. - Identifique o tipo de base: quantos lados tem (
) ou qual é o comprimento do lado ou o perímetro . Sem isso, não há número único. - Use as relações:
e para polígono regular - Calcule
e conforme necessário, depois - Ao final, se o enunciado pedir para desprezar a parte fracionária, aplique o piso do valor final (remova a parte decimal).
Passo 7
Conclusão direta para este enunciado específico: com apenas os dados
e
e sem indicação do que exatamente
representa (aresta lateral ou apótema lateral) nem informação sobre a base (número de lados
ou lado/perímetro), não é possível determinar um único valor numérico para a área da superfície total. Eu mostrei como proceder e dei exemplos numéricos no caso da base quadrada para ilustrar que valores diferentes surgem dependendo das interpretações e dados adicionais.
Resposta
Não é possível determinar um valor numérico único para a área da superfície total com apenas
e
: informação insuficiente.