121 O determinante da matriz \mathbf{M} é igual a 1.

Passo 1

O enunciado fornecido é: “121 O determinante da matriz \mathbf{M} é igual a 1.”\n
Informações explícitas dadas pelo enunciado:
  • Há uma matriz \mathbf{M}.
  • A afirmação (ou a pergunta) envolve o determinante dessa matriz, escrito \det(\mathbf{M}).
  • O texto afirma (ou pretende concluir) que \det(\mathbf{M}) = 1.\n
    Não há outros dados: não foram fornecidos os elementos de \mathbf{M}, nem sua ordem (tamanho), nem propriedades adicionais (triangular, ortogonal, unimodular, etc.).

Passo 2

Posso responder a partir do que foi dado? Não — com a informação atual não há como verificar ou calcular \det(\mathbf{M}). Para decidir se \det(\mathbf{M})=1 preciso de dados adicionais sobre \mathbf{M}. Vou explicar exatamente o que falta e como você poderia provar \det(\mathbf{M})=1 na prova, passo a passo, para que você saiba o que procurar no enunciado e como proceder.

Passo 3

O que exatamente seria necessário para determinar \det(\mathbf{M})? Pelo menos uma destas opções:
  • Os elementos da matriz \mathbf{M} (por exemplo, todos os seus coeficientes), ou
  • Informação sobre a ordem de \mathbf{M} e sua forma (por exemplo, que \mathbf{M} é triangular e os elementos da diagonal), ou
  • Propriedades especiais que impliquem o determinante (por exemplo, \mathbf{M} é uma matriz de permutação par, \mathbf{M} é ortogonal com \det(\mathbf{M})=1 conhecido, \mathbf{M} é produto de matrizes com determinantes conhecidos), ou
  • Uma relação algébrica envolvendo \mathbf{M} que permita calcular \det(\mathbf{M}) (por exemplo, \mathbf{M}^T\mathbf{M}=\mathbf{I}, ou \mathbf{M} tem autovalores conhecidos).
Sem pelo menos uma dessas informações, não dá para computar nem confirmar \det(\mathbf{M})=1.

Passo 4

Agora vou te ensinar, de forma prática e passo a passo, os métodos que normalmente se usam numa prova para calcular ou justificar o determinante. Primeiro o caso mais simples: matrizes 2\times2.
Para uma matriz
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\\ c & d \end{pmatrix},
a definição direta do determinante é
\det(\mathbf{A}) = ad - bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz: a na linha 1 coluna 1, b linha 1 coluna 2, etc. Use essa fórmula sempre que a matriz for 2\times2.
Exemplo rápido (aplique este procedimento na prova se te derem uma 2\times2):
Se \mathbf{A}=\begin{pmatrix}2 & 3 \\\\ 1 & 4\end{pmatrix}, então
\det(\mathbf{A}) = 2\cdot4 - 3\cdot1 = 8 - 3 = 5.

Passo 5

Matriz 3\times3: regra de Sarrus e expansão por cofatores (Laplace). Para
\mathbf{B} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix},
a regra de Sarrus (prática para 3\times3) diz:
\det(\mathbf{B}) = b_{11}b_{22}b_{33} + b_{12}b_{23}b_{31} + b_{13}b_{21}b_{32} - b_{13}b_{22}b_{31} - b_{11}b_{23}b_{32} - b_{12}b_{21}b_{33}.
Outra alternativa é a expansão por cofatores: escolhe uma linha ou coluna, calcula menores e sinais, e soma. Isso é mais geral e funciona para qualquer ordem.
Exemplo (aplicável na prova): calcule por Sarrus ou cofatores se te der um 3\times3 explícito.

Passo 6

Para matrizes maiores ou para uma prova, os métodos mais usados são:
  • Redução por operações elementares de linha até a forma triangular (por exemplo, forma escalonada), e então usar que para uma matriz triangular
\det(\text{triangular}) = \prod \text{(entradas da diagonal)}.
  • Saber como operações elementares alteram o determinante:
    • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
    • Multiplicar uma linha por um escalar k multiplica o determinante por k.
    • Somar à uma linha um múltiplo de outra linha não altera o determinante.
Na prova, costuma-se aplicar operações do tipo “somar múltiplos de uma linha em outra” para zerar elementos sem mudar o determinante, e registrar quando se faz troca de linhas ou multiplicações por escalares para ajustar o determinante final.

Passo 7

Exemplo prático de redução (método que uso frequentemente na prova):
Seja
\mathbf{C}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 5 & 3 \\\\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}.
Quero \det(\mathbf{C}). Faço operações que não mudam o determinante: L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1, L_3 \leftarrow L_3 - L_1. Isso dá uma matriz triangular superior (apenas ilustrando; faça as contas passo a passo na prova). Depois o determinante será o produto da diagonal da forma triangular. Se eu fizer uma troca de linhas em algum passo, lembro de multiplicar o resultado por -1.
Mostro as contas:
Primeiro,
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 \Rightarrow L_2 = (0,1,-3).
L_3 \leftarrow L_3 - L_1 \Rightarrow L_3 = (0,-2,-4).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & -3 \\\\ 0 & -2 & -4\end{pmatrix}.
Em seguida, L_3 \leftarrow L_3 + 2L_2 (operações que não mudam o determinante):
L_3 = (0,0,-10).
Agora é triangular superior, então
\det(\mathbf{C}) = 1\cdot 1\cdot (-10) = -10.
Esse exemplo mostra a mecânica que você deve executar na prova: fazer operações que preservem o determinante, até obter diagonal ou triangular, e então multiplicar a diagonal.

Passo 8

Outros fatos úteis (memorizados para a prova):
  • \det(\mathbf{I}) = 1, onde \mathbf{I} é a matriz identidade.
  • \det(\mathbf{A}\mathbf{B}) = \det(\mathbf{A})\det(\mathbf{B}). Útil quando \mathbf{M} é produto de matrizes com determinantes conhecidos.
  • \det(\mathbf{A}^{-1}) = (\det(\mathbf{A}))^{-1} se \mathbf{A} é inversível.
  • Se \mathbf{A} é ortogonal ( \mathbf{A}^T\mathbf{A}=\mathbf{I}), então \det(\mathbf{A}) = \pm 1; para matrizes de rotação propriamente ditas costuma-se ter \det(\mathbf{A})=1.

Passo 9

Estratégia prática para uma prova quando o enunciado afirma algo como “ \det(\mathbf{M})=1”:
  • Procure no enunciado informações que permitam deduzir o determinante sem calcular todos os elementos explicitamente (por exemplo: \mathbf{M} triangular; \mathbf{M} produto de matrizes com determinantes conhecidos; \mathbf{M} é uma matriz unimodular; \mathbf{M} é ortogonal de rotação; \mathbf{M} tem autovalores cujo produto é 1).
  • Se te der os elementos, escolha método: fórmula direta (2x2), Sarrus (3x3), ou redução por linhas (n×n grandes).
  • Sempre rastreie efeitos de trocas de linhas e multiplicações por escalares.

Passo 10

Conclusão aplicada ao enunciado que você mandou: como não foram fornecidos elementos, nem propriedades, nem tamanho de \mathbf{M}, não há base para afirmar ou verificar que \det(\mathbf{M})=1. Na prática, na prova você deve buscar no enunciado a informação que permite aplicar algum dos métodos que eu expliquei; com isso você poderá comprovar ou calcular \det(\mathbf{M}).

Resposta

Não é possível determinar: faltam os elementos ou propriedades da matriz \mathbf{M} para computar ou verificar que \det(\mathbf{M})=1.

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