6.13 A 10 mm -diameter, 305 mm -long titanium bar has a yield strength of 345 MN m^-2, a
modulus of elasticity of 110 times 103 MN m^-2, and Poisson’s ratio of 0.30 . Determine the length and diameter of the bar when a 2.2 kN load is applied.

Passo 1

O enunciado dá uma barra de titânio com diâmetro inicial d0=10,mm e comprimento inicial L0=305,mm. Sobre ela age uma carga axial P=2,2,kN. O objetivo é calcular o alongamento e a redução de diâmetro sob a hipótese de comportamento elástico, usando as relações de tensão-deformação de Hooke e a razão de Poisson nu=0,30.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal inicial. Como a barra é circular,
A = pi d0^24
Substituindo d0=10,mm=0,010,m,
A = pi,(0,010)^24 = 7,854times10^-5,m^2

Passo 3

Determinar a tensão axial média
sigma = PA
Com P=2,2,kN=2,2times10^3,N,
sigma = 2,2times10^37,854times10^-5 approx28,0times10^6,Pa=28,0,MPa

Passo 4

Verificar que a barra está no regime elástico comparando com o limite de escoamento:
sigma=28,0,MPa<345,MPa. Logo, podemos usar a lei de Hooke.

Passo 5

Calcular a deformação axial (longitudinal) pela lei de Hooke:
varepsilonaxial = sigmaE
Com E=110times10^3,MN/m^2=110times10^9,Pa,
varepsilonaxial = 28,0times10^6110times10^9 =2,545times10^-4

Passo 6

Determinar o alongamento De<a L e o comprimento final L:
De<a L = L0,varepsilonaxial, L = L0 + De<a L
Como L0=305,mm=0,305,m,
De<a L = 0,305times2,545times10^-4=7,76times10^-5,m =0,0776,mm,
L = 305,mm+0,0776,mm=305,0776,mm

Passo 7

Calcular a deformação lateral usando a razão de Poisson:
varepsilonlat = -nu,varepsilonaxial = -0,30times2,545times10^-4 = -7,636times10^-5

Passo 8

Determinar a variação de diâmetro De<a d e o diâmetro final d:
De<a d = d0,varepsilonlat, d = d0 + De<a d
Com d0=10,mm=0,010,m,
De<a d = 0,010times(-7,636times10^-5) = -7,636times10^-7,m =-0,0007636,mm,
d = 10,mm-0,0007636,mm =9,9992364,mm

Resposta

Comprimento final Lapprox305,078,mm e diâmetro final dapprox9,9992,mm.

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