13-10 O zinco(II) e o ligante L formam um produto que absorve fortemente em 600 nm . Desde que a concentração molar de L exceda a de zinco(II) por um fator de 5, a absorbância dependè apenas da concentração do cátion. Nem o zinco(II) nem L absorvem em 600 nm . Uma solução 1,60 \times 10^{-4} \mathrm{M} em zinco(II) e 1,00 \times 10^{-3} \mathrm{M} em L tem absorbância de 0,464 em célula de 1,00 \mathrm{~cm} a 600 nm . Calcule:
(a) a porcentagem de transmitância desta solução.
(b) a porcentagem de transmitância desta soluçăo em uma célula de 2,50 \mathrm{~cm}.
(c) a absortividade molar do complexo.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações (tudo tirado do enunciado):
  • Concentração do cátion zinco(II): c_{\text{Zn}^{2+}} = 1,60\times10^{-4}\\ \mathrm{M}.
  • Concentração do ligante L: c_L = 1,00\times10^{-3}\\ \mathrm{M}.
  • A mistura tem absorbância medida A=0,464 a 600\\ \mathrm{nm} em uma célula de comprimento de caminho óptico l=1,00\\ \mathrm{cm}.
  • Nem o zinco(II) nem o ligante L absorvem a 600\\ \mathrm{nm}; somente o complexo metal–ligante absorve fortemente nessa comprimento de onda.
  • Como c_L excede c_{\text{Zn}^{2+}} por um fator de pelo menos 5, o enunciado afirma que a absorbância depende somente da concentração do cátion — isto implica que, nas condições dadas, todo o zinco(II) está efetivamente presente como complexo absorvente, ou seja, a concentração do complexo absorvente é igual a c_{\text{Zn}^{2+}}.
    O que se pede:
    (a) calcular a porcentagem de transmitância desta solução na cela de 1,00\\ \mathrm{cm};
    (b) calcular a porcentagem de transmitância da mesma solução numa célula de 2,50\\ \mathrm{cm};
    (c) calcular a absortividade (coeficiente de extinção) molar do complexo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (aulas rápidas e clarinhas):
  • Lei de Beer–Lambert (forma usual): A = \varepsilon\,c\,l.
    • Aqui A é a absorbância (grandeza adimensional, sem unidades).
    • \varepsilon é a absortividade molar (também chamada coeficiente de extinção molar), com unidades normalmente \mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}.
    • c é a concentração molar do species absorvente (em \mathrm{mol\,L^{-1}} ou \mathrm{M}).
    • l é o comprimento do caminho óptico (em \mathrm{cm}).
  • Relação entre absorbância e transmitância (transmitância como fração): A = -\log_{10} T,\qquad T=10^{-A}.
    • T é a transmitância como número entre 0 e 1.
    • A porcentagem de transmitância é T multiplicada por 100\%: \%\!T = 100\% \times T.
  • Importante: se a concentração do complexo duplicar ou o comprimento do caminho duplicar, a absorbância duplica (linearidade da lei de Beer–Lambert), então para dois comprimentos l_1 e l_2 com mesma concentração: A_2 = A_1\cdot\frac{l_2}{l_1}.
Agora vamos aplicar essas fórmulas passo a passo aos dados do problema.

Passo 3

Queremos a porcentagem de transmitância na cela de 1,00\\ \mathrm{cm}, sabendo A=0,464.
  • Calcular a transmitância como fração: T = 10^{-A} = 10^{-0,464}.
  • Avaliando numericamente (explicando a conta de cabeça): pode-se escrever 10^{-0,464}=10^{-0,4}\cdot10^{-0,064}. Sabe-se que 10^{-0,4}\approx0,39811 e 10^{-0,064}\approx0,86299; multiplicando dá T\approx0,3438.
  • Converter para porcentagem: \%\!T = 100\%\times T \approx 100\%\times0,3438 = 34,38\%.
  • Arredondando de acordo com algarismos significativos (dados têm 3 algarismos significativos), fica \%\!T \approx 34,4\%.

Passo 4

Agora a célula tem comprimento l_2 = 2,50\\ \mathrm{cm}. A concentração do complexo permanece igual porque a solução é a mesma.
  • Como a absorbância é proporcional ao comprimento do caminho, A_2 = A_1\cdot\frac{l_2}{l_1} = 0,464\cdot\frac{2,50}{1,00} = 0,464\cdot2,50 = 1,16.
  • Calcular a transmitância correspondente: T_2 = 10^{-A_2} = 10^{-1,16}.
  • Avaliação numérica: 10^{-1,16}=10^{-1}\cdot10^{-0,16}=0,1\cdot10^{-0,16}. E 10^{-0,16}\approx e^{-0,16\ln10}\approx e^{-0,3684}\approx0,692. Assim T_2\approx0,1\cdot0,692=0,0692.
  • Converter para porcentagem: \%\!T_2 = 100\%\times T_2 \approx 6,92\%.
  • Arredondando para três algarismos significativos: \%\!T_2 \approx 6,92\%.

Passo 5

Queremos a absortividade molar \varepsilon do complexo usando a lei de Beer–Lambert.
  • Reescrever a lei e isolar \varepsilon: \varepsilon = \frac{A}{c\,l}.
  • Sabendo que a concentração do complexo é igual à concentração do zinco(II) dada (porque o ligante está em excesso), usamos c = 1,60\times10^{-4}\\ \mathrm{M} e l=1,00\\ \mathrm{cm}, com A=0,464.
  • Substituindo: \varepsilon = \frac{0,464}{(1,60\times10^{-4})\cdot1,00}.
  • Fazer a conta com cuidado: 1,60\times10^{-4}=0,000160. Então \varepsilon = 0,464/0,000160. Dividindo: 0,464/0,000160 = 2,900\times10^{3}.
  • Escrevendo com unidade padrão: \varepsilon = 2,90\times10^{3}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}.
  • Notação e algarismos significativos: mantivemos três algarismos significativos coerentes com os dados originais.

Resposta

(a) 34,4\%
(b) 6,92\%
(c) \displaystyle 2,90\times10^{3}\\ \mathrm{L\,mol^{-1}\,cm^{-1}}

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