13.14 Resolva:
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}-\delta(t) y=\frac{y_{1}}{T^{2}} t ; \quad y(0)=y_{0}
onde y_{0}, y_{1} e T são constantes.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem linear em y(t):
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-\delta(t)\,y=\frac{y_{1}}{T^{2}}\,t,
com condição inicial y(0)=y_{0}.
O método será usar fator integrante, pois ome damos a equação no formato
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+a(t)\,y=b(t),
onde aqui a(t)=-\delta(t) e b(t)=\tfrac{y_{1}}{T^{2}}\,t.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\Bigl(\int a(t)\,\mathrm{d}t\Bigr) =\exp\Bigl(-\int \delta(t)\,\mathrm{d}t\Bigr).

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
\mu(t)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}-\mu(t)\,\delta(t)\,y =\mu(t)\,\frac{y_{1}}{T^{2}}\,t.
Pelo modo como \mu foi escolhido, o lado esquerdo é a derivada de \mu(t)\,y. Assim,
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(\mu(t)\,y(t)\bigr) =\mu(t)\,\frac{y_{1}}{T^{2}}\,t.
Integrando de 0 a t,
\mu(t)\,y(t)-\mu(0)\,y(0) =\int_{0}^{t}\mu(s)\,\frac{y_{1}}{T^{2}}\,s\;\mathrm{d}s.

Passo 4

Como \mu(0)=\exp\bigl(-\int_{0}^{0}\delta(s)\mathrm{d}s\bigr)=1 e y(0)=y_{0}, temos
\mu(t)\,y(t) =y_{0}+\frac{y_{1}}{T^{2}} \int_{0}^{t}\mu(s)\,s\;\mathrm{d}s.
Isolando y(t),
y(t) =\frac{1}{\mu(t)}\Biggl[ y_{0} +\frac{y_{1}}{T^{2}} \int_{0}^{t}\exp\Bigl(-\int_{0}^{s}\delta(u)\,\mathrm{d}u\Bigr)\,s\;\mathrm{d}s \Biggr].

Resposta

y(t) =\exp\Bigl(\int_{0}^{t}\delta(u)\,\mathrm{d}u\Bigr) \left[ y_{0} +\frac{y_{1}}{T^{2}} \int_{0}^{t} \exp\Bigl(-\int_{0}^{s}\delta(u)\,\mathrm{d}u\Bigr)\,s\;\mathrm{d}s \right].

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