13.13 Uma bola de sinuca de massa m está parada sobre a mesa em t=0_{-}e na posição x=0; ela recebe um impulso I de um taco em t=0. Deixando de lado uma análise mais detalhada da dinâmica de rotação da bola, e supondo que a equação do movimento do centro de massa da bola ao longo da direção x em que foi imprimido o impulso seja
m \frac{\mathrm{~d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=I \delta(t)
(onde \delta(t) é a distribuição delta de Dirac), mostre que após a tacada a velocidade da bola é constante.

Passo 1

O enunciado descreve uma bola de massa m inicialmente em repouso v=0 até o instante t=0_-, quando recebe um impulso I modelado por uma força F(t)=I\,\delta(t). A equação do movimento do centro de massa ao longo de x é
m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=I\,\delta(t).
Queremos mostrar que, após t=0, a velocidade da bola permanece constante e determinar esse valor.

Passo 2

Para t\neq0 temos \delta(t)=0, então a equação vira
m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=0.
Isso significa que \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}=0, ou seja, a velocidade \displaystyle v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} é constante em cada região t<0 e t>0. Em particular, antes do choque t<0 a bola está em repouso, logo v(t<0)=0.

Passo 3

Para encontrar a variação de velocidade em t=0, integramos a equação de t=-\varepsilon a t=+\varepsilon com \varepsilon\to0^+:
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon} m\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2}\,\mathrm{d}t =\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}I\,\delta(t)\,\mathrm{d}t.
No lado esquerdo obtemos
m\Bigl[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\Bigr]_{t=-\varepsilon}^{t=+\varepsilon} =m\bigl(v(0+)-v(0-)\bigr),
e no direito
\int_{-\varepsilon}^{+\varepsilon}I\,\delta(t)\,\mathrm{d}t=I.
Como v(0-)=0, segue
m\,v(0+)=I \quad\Longrightarrow\quad v(0+)=\frac{I}{m}.

Resposta

Após a tacada, a bola move-se com velocidade constante
v(t)=\frac{I}{m}\quad\text{para }t>0.

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