13.165 Uma bola
de 600 g move-se com velocidade de
de intensidade quando é atingida por uma bola
de 1 kg que tem velocidade de
de intensidade. Sabendo que o coeficiente de restituição é 0,8 e desprezando o atrito, determine a velocidade de cada bola após o impacto.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade final de cada bola (A e B) após o impacto, sabendo as massas, as velocidades iniciais, e o coeficiente de restituição. As informações relevantes dadas (peguei os ângulos da figura) são:
- massa de A:
; - massa de B:
; - velocidade inicial de A:
; - velocidade inicial de B:
; - coeficiente de restituição:
; - da imagem: a velocidade de A forma um ângulo de
com a reta de centros (abaixo dela); - da imagem: a velocidade de B forma um ângulo de
com a reta de centros (do lado oposto).
O que precisamos encontrar: as velocidades vetoriais finais de A e de B (módulo e direção) após o choque.
Passo 2
Estratégia física e matemática (passo-a-passo do raciocínio):
- Num choque entre esferas sem atrito, a componente da velocidade ao longo da reta de centros (direção normal ao ponto de contato) muda devido ao choque; a componente perpendicular a essa reta (direção tangencial) permanece inalterada porque não há força tangencial (desprezamos atrito).
- Portanto vamos decompor as velocidades iniciais em duas componentes: normal (ao longo da reta de centros) e tangencial (perpendicular a ela).
- Na direção normal aplicamos duas equações:
- conservação do momento linear ao longo da reta de centros;
- definição do coeficiente de restituição
, que relaciona a velocidade relativa após e antes do choque na direção normal.
- Resolvidas as componentes normais finais e sabendo que as tangenciais não mudam, recombinamos para obter as velocidades vetoriais finais (módulo e direção).
Vou explicar cada fórmula quando usá-la, para você entender como aplicar na prova.
Passo 3
Escolha do sistema de eixos e decomposição das velocidades (mostro as fórmulas e ensino como projetar).
- Defino o eixo normal
ao longo da reta de centros, apontando de A para B (positivo para a direita, do centro de A para o de B). - Defino o eixo tangencial
perpendicular à reta de centros (escolho positivo para baixo, apenas por conveniência). - Projeção de um vetor velocidade
que faz ângulo com a reta de centros: onde é a componente normal (positiva quando apontar na direção positiva do eixo ) e é a componente tangencial (positiva para baixo no meu sistema). - Agora calculo as componentes iniciais (peguei os ângulos da imagem:
e , conforme dito no Passo 1).
Cálculos numéricos (uso valores trigonométricos aproximados):
Para A (velocidade inicial
, fazendo
com a reta, abaixo dela):
(Como A se dirige para a reta de centros na direção positiva
, tomei
positivo.)
Para B (velocidade inicial
, fazendo
com a reta, vindo do lado oposto):
- a componente normal de B está dirigida para a esquerda (ou seja, no sentido negativo do eixo
), então eu atribuo sinal negativo:
- a componente tangencial de B está para cima (oposta ao sentido positivo escolhido para
), então:
Resumo das componentes iniciais:
Passo 4
Equações na direção normal: conservação do momento e coeficiente de restituição. Vou explicar as fórmulas e aplicá-las.
- Conservação do momento linear (somente na direção normal):
onde
e
são as componentes normais finais que queremos.
- Coeficiente de restituição
(definição física):
-
é a razão entre a velocidade relativa de separação e a velocidade relativa de aproximação, ao longo da normal. Com sinais e notação usada:
(Explicação: antes do choque a velocidade relativa na direção normal é
— se positiva eles se aproximam; depois é
— se positiva eles se separam.)
Agora temos duas equações lineares para
e
. Uma forma direta de resolver é usar as fórmulas fechadas (que derivam dessas duas equações). Para massas
e
-s dados,
(Se quiser, isso sai resolvendo o sistema linear formado pelas duas equações acima — na prova você pode deduzir rapidamente ou memorizar essas fórmulas.)
Aplicando os números:
- cálculo do termo comum (momento inicial na normal):
- velocidade relativa de aproximação:
Agora as componentes normais finais:
Interpretação dos sinais:
-
significa que, após o choque, a componente normal de A inverteu-se e agora aponta para a esquerda (sentido negativo do eixo ). -
significa que B passa a ter componente normal para a direita (sentido positivo).
Passo 5
Componentes tangenciais finais e recomposição vetorial.
- Como o choque é sem atrito, as componentes tangenciais não mudam:
- Agora recombino as componentes normal e tangencial para obter o módulo e a direção de cada velocidade final:
Para A:
Direção: o ângulo
que a velocidade final de A faz com a reta de centros (medido a partir da reta, sentido abaixo se o componente tangencial for positivo) é
Como
e
, A está agora saindo para a esquerda da reta de centros e com componente tangencial para baixo — isto é, para a esquerda formando
abaixo da reta.
Para B:
Direção:
Como
e
, B segue para a direita da reta de centros com componente tangencial para cima — isto é, para a direita formando
acima da reta.
Passo 6
Resumo interpretativo (rápido e motivador):
- A componente normal trocou de sinal em A (ela ricocheteou e agora sai para o outro lado da linha de centros), enquanto B passou a deslocar-se para o sentido oposto com velocidade normal positiva. As componentes tangenciais não mudaram, por isso os ângulos finais não são os mesmos dos iniciais, mas são obtidos pela recombinação que fizemos.
- Você consegue repetir esse procedimento em qualquer choque oblíquo entre esferas: decompor, aplicar conservação do momento e
na normal, deixar a tangencial inalterada, recompor.