13.160 Três esferas de aço de massas iguais estão suspensas no teto por cordas de comprimentos iguais colocadas a uma distância ligeiramente superior ao diâmetro das esferas. Após ser puxada para trás e liberada, a esfera
bate na esfera
que por sua vez bate na esfera
. Representando por
o coeficiente de restituição entre as esferas e por
a velocidade de
imediatamente antes de bater em
, determine (a) as velocidades de
e
imediatamente após a primeira colisão, (b) as velocidades de
e
imediatamente após a segunda colisão. (c) Considerando agora que
esferas estão suspensas no teto e que a primeira esfera é puxada para trás e liberada como descrito anteriormente, determine a velocidade da última esfera após sofrer a primeira batida. (d) Use o resultado da parte
para obter a velocidade da última esfera quando
e
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele fornece (peguei estes dados da figura e do enunciado).
-
O enunciado pede:
- (a) as velocidades de
e imediatamente após a primeira colisão; - (b) as velocidades de
e imediatamente após a segunda colisão; - (c) para
esferas alinhadas idênticas, a velocidade da última esfera após sofrer a primeira batida (isto é, depois de a colisão ter percorrido a cadeia uma vez); - (d) usar o resultado de (c) com
e para obter um valor numérico.
- (a) as velocidades de
-
Informações dadas (peguei da figura/enunciado):
- As três esferas têm massas iguais (digamos massa
para cada uma). - As cordas têm mesmo comprimento e as esferas estão alinhadas de modo que as colisões são praticamente unidimensionais (ao longo da linha).
- A esfera
chega à primeira colisão com velocidade (isto foi indicado na figura). - Antes da primeira colisão,
e estão em repouso. - O coeficiente de restituição entre esferas é
(mesmo para todas as colisões).
- As três esferas têm massas iguais (digamos massa
Passo 2
Conceitos fundamentais e fórmulas que vamos usar (aula curta, sem pressa):
-
Conservação da quantidade de movimento (momento linear) em colisões isoladas:
- Para duas partículas de massas
e com velocidades antes da colisão e e depois e , a conservação do momento dá:
Aqui todas as massas são iguais a, então essa equação simplifica para Explicação rápida: momentum é sempre somatório de massa vezes velocidade; em colisões isoladas (nenhuma força externa significativa durante o impacto) esse somatório não muda. - Para duas partículas de massas
-
Definição do coeficiente de restituição
(modo prático): -
relaciona as velocidades relativas antes e depois na direção da colisão:
assumindo(primeiro bate no segundo). Significado físico: é colisão perfeitamente elástica (sem perda de velocidade relativa), é colisão perfeitamente inelástica (os corpos grudam, velocidade relativa após é zero). -
-
Vamos aplicar essas duas equações para duas massas iguais. Seja
velocidades antes; depois. As equações são:
Vamos resolver esse sistema para
e
. Somando as duas equações:
mas é mais simples isolar diretamente. Uma forma direta é somar e subtrair convenientemente; um caminho padrão é resolver para
:
E então
Para massas iguais, essas são as fórmulas gerais que usaremos. Interpretação:
recebe uma combinação dos dois
's ponderada por
.
Passo 3
Aplicando ao primeiro choque (colisão entre
e
):
-
Antes da colisão:
- velocidade de
: , - velocidade de
: .
- velocidade de
-
Usando as fórmulas com
e , obtemos
- Interpretação física curta (para te dar intuição): se
(perfeitamente elástica) então e — a esfera pára e segue com , que é o caso clássico do pêndulo de Newton. Para haverá alguma energia dissipada e continua para frente com uma velocidade menor .
Passo 4
Aplicando ao segundo choque (colisão entre
e
):
-
Imediatamente antes da segunda colisão:
- velocidade de
é a que encontramos após a primeira colisão: - velocidade de
: .
- velocidade de
-
Usando as fórmulas com
e , obtemos
- Observação: os expoentes e fatores se formam por multiplicação sucessiva do fator
quando um pulso de velocidade é transmitido ao longo da cadeia.
Passo 5
Generalização para
esferas (parte (c)) — derivação passo a passo e justificativa por recorrência:
-
Denote por
a velocidade da esfera 1 antes de bater na 2, e por a velocidade da esfera imediatamente antes de colidir com a (para ); inicialmente . -
Quando a esfera
(com velocidade ) colide com a (em repouso), pelo resultado do passo 2 temos que a esfera sai com velocidade Essaé exatamente a velocidade com que a esfera chega para colidir com a (se desconsiderarmos efeitos subsequentes de reacoplamento), portanto -
Assim temos uma relação de recorrência geométrica:
-
Pela recorrência (ou indução), para o último índice
(a velocidade da última esfera imediatamente após sofrer a primeira batida) obtemos -
Interpretação: cada colisão transmite ao próximo corpo uma fração
da velocidade incidente; multiplicando essas frações ao longo da cadeia dá o fator total.
Passo 6
Cálculo numérico para (d):
e
.
- Primeiro calcule o fator por etapa:
- A última esfera é a de índice
, então o exponente é . Calculamos (faça atenção: calculei por multiplicações sucessivas , , , .) - Assim
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)