13.160 Três esferas de aço de massas iguais estão suspensas no teto por cordas de comprimentos iguais colocadas a uma distância ligeiramente superior ao diâmetro das esferas. Após ser puxada para trás e liberada, a esfera A bate na esfera B que por sua vez bate na esfera C. Representando por e o coeficiente de restituição entre as esferas e por \mathbf{v}_{0} a velocidade de A imediatamente antes de bater em B, determine (a) as velocidades de A e B imediatamente após a primeira colisão, (b) as velocidades de B e C imediatamente após a segunda colisão. (c) Considerando agora que n esferas estão suspensas no teto e que a primeira esfera é puxada para trás e liberada como descrito anteriormente, determine a velocidade da última esfera após sofrer a primeira batida. (d) Use o resultado da parte c para obter a velocidade da última esfera quando n=6 e e=0.95.

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele fornece (peguei estes dados da figura e do enunciado).
  • O enunciado pede:
    • (a) as velocidades de A e B imediatamente após a primeira colisão;
    • (b) as velocidades de B e C imediatamente após a segunda colisão;
    • (c) para n esferas alinhadas idênticas, a velocidade da última esfera após sofrer a primeira batida (isto é, depois de a colisão ter percorrido a cadeia uma vez);
    • (d) usar o resultado de (c) com n=6 e e=0{,}95 para obter um valor numérico.
  • Informações dadas (peguei da figura/enunciado):
    • As três esferas têm massas iguais (digamos massa m para cada uma).
    • As cordas têm mesmo comprimento e as esferas estão alinhadas de modo que as colisões são praticamente unidimensionais (ao longo da linha).
    • A esfera A chega à primeira colisão com velocidade \mathbf{v}_{0} (isto foi indicado na figura).
    • Antes da primeira colisão, B e C estão em repouso.
    • O coeficiente de restituição entre esferas é e (mesmo para todas as colisões).

Passo 2

Conceitos fundamentais e fórmulas que vamos usar (aula curta, sem pressa):
  • Conservação da quantidade de movimento (momento linear) em colisões isoladas:
    • Para duas partículas de massas m_1 e m_2 com velocidades antes da colisão u_1 e u_2 e depois v_1 e v_2, a conservação do momento dá:
    m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2.
    Aqui todas as massas são iguais a m, então essa equação simplifica para
    u_1 + u_2 = v_1 + v_2.
    Explicação rápida: momentum é sempre somatório de massa vezes velocidade; em colisões isoladas (nenhuma força externa significativa durante o impacto) esse somatório não muda.
  • Definição do coeficiente de restituição e (modo prático):
    • e relaciona as velocidades relativas antes e depois na direção da colisão:
    e = \frac{\text{velocidade relativa de separação}}{\text{velocidade relativa de aproximação}} =\frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2},çãçã
    assumindo u_1>u_2 (primeiro bate no segundo). Significado físico: e=1 é colisão perfeitamente elástica (sem perda de velocidade relativa), e=0 é colisão perfeitamente inelástica (os corpos grudam, velocidade relativa após é zero).
  • Vamos aplicar essas duas equações para duas massas iguais. Seja u_1,u_2 velocidades antes; v_1,v_2 depois. As equações são:
    u_1 + u_2 = v_1 + v_2,
v_2 - v_1 = e(u_1 - u_2).
Vamos resolver esse sistema para v_1 e v_2. Somando as duas equações:
(u_1+u_2) + (v_2 - v_1) = (v_1+v_2) + e(u_1 - u_2),
mas é mais simples isolar diretamente. Uma forma direta é somar e subtrair convenientemente; um caminho padrão é resolver para v_2:
v_2 = \frac{(u_1+u_2) + e(u_1 - u_2)}{2}.
E então
v_1 = u_1 + u_2 - v_2 = \frac{(u_1+u_2) - e(u_1 - u_2)}{2}.
Para massas iguais, essas são as fórmulas gerais que usaremos. Interpretação: v_2 recebe uma combinação dos dois u's ponderada por 1\pm e.

Passo 3

Aplicando ao primeiro choque (colisão entre A e B):
  • Antes da colisão:
    • velocidade de A: u_A = \mathbf{v}_0,
    • velocidade de B: u_B = 0.
  • Usando as fórmulas com u_1=\mathbf{v}_0 e u_2=0, obtemos
    \mathbf{v}_B^{(1)} = v_2 = \frac{( \mathbf{v}_0 + 0 ) + e( \mathbf{v}_0 - 0 )}{2} = \frac{1+e}{2}\,\mathbf{v}_0,
\mathbf{v}_A^{(1)} = v_1 = \frac{( \mathbf{v}_0 + 0 ) - e( \mathbf{v}_0 - 0 )}{2} = \frac{1-e}{2}\,\mathbf{v}_0.
  • Interpretação física curta (para te dar intuição): se e=1 (perfeitamente elástica) então \mathbf{v}_A^{(1)}=0 e \mathbf{v}_B^{(1)}=\mathbf{v}_0 — a esfera A pára e B segue com \mathbf{v}_0, que é o caso clássico do pêndulo de Newton. Para e<1 haverá alguma energia dissipada e A continua para frente com uma velocidade menor \frac{1-e}{2}\mathbf{v}_0.

Passo 4

Aplicando ao segundo choque (colisão entre B e C):
  • Imediatamente antes da segunda colisão:
    • velocidade de B é a que encontramos após a primeira colisão: u_B' = \mathbf{v}_B^{(1)} = \frac{1+e}{2}\,\mathbf{v}_0.
    • velocidade de C: u_C=0.
  • Usando as fórmulas com u_1 = u_B' e u_2 = 0, obtemos
    \mathbf{v}_C^{(2)} = \frac{1+e}{2}\,u_B' = \frac{1+e}{2}\cdot\frac{1+e}{2}\,\mathbf{v}_0 = \frac{(1+e)^2}{4}\,\mathbf{v}_0,
\mathbf{v}_B^{(2)} = \frac{1-e}{2}\,u_B' = \frac{1-e}{2}\cdot\frac{1+e}{2}\,\mathbf{v}_0 = \frac{1-e^2}{4}\,\mathbf{v}_0.
  • Observação: os expoentes e fatores se formam por multiplicação sucessiva do fator \dfrac{1+e}{2} quando um pulso de velocidade é transmitido ao longo da cadeia.

Passo 5

Generalização para n esferas (parte (c)) — derivação passo a passo e justificativa por recorrência:
  • Denote por u_1=\mathbf{v}_0 a velocidade da esfera 1 antes de bater na 2, e por u_k a velocidade da esfera k imediatamente antes de colidir com a k+1 (para k\ge1); inicialmente u_2=u_3=\dots=0.
  • Quando a esfera k (com velocidade u_k) colide com a k+1 (em repouso), pelo resultado do passo 2 temos que a esfera k+1 sai com velocidade
    v_{k+1} = \frac{1+e}{2}\,u_k.
    Essa v_{k+1} é exatamente a velocidade u_{k+1} com que a esfera k+1 chega para colidir com a k+2 (se desconsiderarmos efeitos subsequentes de reacoplamento), portanto
    u_{k+1} = \frac{1+e}{2}\,u_k.
  • Assim temos uma relação de recorrência geométrica:
    u_1 = \mathbf{v}_0,\qquad u_{k+1} = \frac{1+e}{2}\,u_k.
  • Pela recorrência (ou indução), para o último índice n (a velocidade da última esfera imediatamente após sofrer a primeira batida) obtemos
    \mathbf{v}_{n} = u_n = \left(\frac{1+e}{2}\right)^{n-1}\mathbf{v}_0.
  • Interpretação: cada colisão transmite ao próximo corpo uma fração \dfrac{1+e}{2} da velocidade incidente; multiplicando essas frações ao longo da cadeia dá o fator total.

Passo 6

Cálculo numérico para (d): n=6 e e=0{,}95.
  • Primeiro calcule o fator por etapa: \frac{1+e}{2} = \frac{1+0{,}95}{2} = \frac{1{,}95}{2} = 0{,}975.
  • A última esfera é a de índice n=6, então o exponente é n-1=5. Calculamos \left(0{,}975\right)^{5} \approx 0{,}881095693359375.(faça atenção: calculei por multiplicações sucessivas 0{,}975^2=0{,}950625, 0{,}975^3\approx0{,}926859375, 0{,}975^4\approx0{,}903687890625, 0{,}975^5\approx0{,}881095693359375.)
  • Assim \mathbf{v}_6 \approx 0{,}8810956934\,\mathbf{v}_0 \approx 0{,}88110\,\mathbf{v}_0.

Resposta

(a) \mathbf{v}_A=\dfrac{1-e}{2}\,\mathbf{v}_0,\qquad \mathbf{v}_B=\dfrac{1+e}{2}\,\mathbf{v}_0
(b) \mathbf{v}_B=\dfrac{1-e^2}{4}\,\mathbf{v}_0,\qquad \mathbf{v}_C=\dfrac{(1+e)^2}{4}\,\mathbf{v}_0
(c) \mathbf{v}_n=\left(\dfrac{1+e}{2}\right)^{\,n-1}\mathbf{v}_0
(d) \mathbf{v}_6\approx 0{,}8810956934\,\mathbf{v}_0\approx 0{,}88110\,\mathbf{v}_0

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