1. Se a viga está sujeita a um momento \mathrm{M}=100 \mathrm{kN} . \mathrm{m}, determine a tensão de flexão nos pontos A, B e C. Esboce a distribuição de tensão de flexão na seção transversal.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a tensão de flexão nos pontos A, B e C quando a viga está sujeita ao momento \mathrm{M}=100\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • Esboçar (descrever) a distribuição de tensão de flexão na seção transversal.
Informações relevantes dadas (peguei estes valores da imagem enviada):
  • Espessura das chapas: 30\\ \text{mm}.
  • Chapa vertical: altura 300\\ \text{mm}, espessura 30\\ \text{mm}.
  • Chapa horizontal (flange): comprimento (extensão) 150\\ \text{mm}, espessura 30\\ \text{mm}.
  • Posição geométrica relativa: a chapa vertical está soldada sobre a face superior da chapa horizontal; portanto a base do retângulo vertical fica à cota 30\\ \text{mm} acima do plano de referência (base da chapa horizontal).
  • Posições aproximadas dos pontos (conforme figura):
    • A: borda superior da chapa vertical (fibra extrema superior).
    • B: na junção entre a chapa vertical e a chapa horizontal (superfície superior da chapa horizontal, junto ao pé da alma).
    • C: ponto sobre a face superior da chapa horizontal, afastado da junção (sobre a mesma cota vertical de B).
  • O momento aplicado: \mathrm{M}=100\\ \mathrm{kN\cdot m} (dado do enunciado).

Passo 2

Escolha do método e definição das quantidades que vamos calcular:
  • Vamos usar a fórmula clássica da flexão simples para seções compostas:
\sigma = -\dfrac{M\,y}{I},
onde:
  • \sigma é a tensão de flexão no ponto considerado (positiva em tração, negativa em compressão segundo a convenção que vou adotar abaixo),
  • M é o momento de flexão (valor dado),
  • y é a distância vertical do centroide da seção até o ponto considerado (positiva para cima),
  • I é o segundo momento de área (inércia) da seção em relação ao eixo neutro (eixo horizontal que passa pelo centroide da seção).
Para aplicar essa fórmula precisamos determinar:
  1. a posição do centroide da seção (cota \bar{y} medida a partir da base da chapa horizontal),
  2. o segundo momento de área total I em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide,
  3. as distâncias y de A, B e C até o centroide.
Vou dividir a seção em duas retângulos (chapas): a placa horizontal (flange) e a placa vertical (alma).

Passo 3

Cálculo das áreas e centros de cada peça (todas em mm e mm^2):
  • Área da chapa horizontal (flange):
A_h = 150\cdot 30 = 4{,}500\\ \text{mm}^2.
O centróide da flange está a 15\\ \text{mm} acima da base (metade da espessura), ou seja y_h=15\\ \text{mm}.
  • Área da chapa vertical (alma):
A_v = 30\cdot 300 = 9{,}000\\ \text{mm}^2.
A alma começa na face superior da flange (a 30\\ \text{mm} da base) e tem altura 300\\ \text{mm}; portanto o centróide da alma está a
y_v = 30 + \dfrac{300}{2} = 30 + 150 = 180\\ \text{mm}
a partir da base.
Cálculo do centroide da seção composta ( \bar{y}):
\bar{y}=\dfrac{A_h y_h + A_v y_v}{A_h + A_v} =\dfrac{4{,}500\cdot 15 + 9{,}000\cdot 180}{4{,}500+9{,}000}.
Calculemos os termos:
4{,}500\cdot 15 = 67{,}500,\qquad 9{,}000\cdot 180 = 1{,}620{,}000,
\bar{y}=\dfrac{1{,}687{,}500}{13{,}500}=125\\ \text{mm}.
Portanto o centroide da seção está a \bar{y}=125\\ \text{mm} acima da base (face inferior da chapa horizontal).

Passo 4

Cálculo do segundo momento de área I da seção composta em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide ( y=\bar{y}).
Para cada retângulo usamos a fórmula do momento de inércia em torno de seu eixo centroidal horizontal e, quando necessário, somamos a contribuição do termo de Steiner (teorema dos eixos paralelos).
Fórmula do momento de inércia de um retângulo de base b (horizontal, extensão) e altura h (na direção vertical) em torno do seu eixo horizontal que passa pelo seu centro:
I_{\text{cent}}=\dfrac{b\,h^3}{12}.
  1. Flange (chapa horizontal): b=150\\ \text{mm}, h=30\\ \text{mm}.
I_{h,\text{cent}}=\dfrac{150\cdot 30^3}{12}=\dfrac{150\cdot 27{,}000}{12}=337{,}500\\ \text{mm}^4.
Distância entre o centróide da flange e o centróide da seção composta:
d_h=\bar{y}-y_h=125-15=110\\ \text{mm}.
Contribuição total da flange por Steiner:
I_h = I_{h,\text{cent}} + A_h d_h^2 =337{,}500 + 4{,}500\cdot 110^2.
Calcule:
4{,}500\cdot 110^2 =4{,}500\cdot 12{,}100 =54{,}450{,}000,
I_h =337{,}500 + 54{,}450{,}000 =54{,}787{,}500\\ \text{mm}^4.
  1. Alma (chapa vertical): b=30\\ \text{mm}, h=300\\ \text{mm}.
I_{v,\text{cent}}=\dfrac{30\cdot 300^3}{12}=\dfrac{30\cdot 27{,}000{,}000}{12}=67{,}500{,}000\\ \text{mm}^4.
Distância entre o centróide da alma e o centróide da seção composta:
d_v = y_v - \bar{y}=180-125=55\\ \text{mm}.
Contribuição total da alma:
I_v = I_{v,\text{cent}} + A_v d_v^2 =67{,}500{,}000 + 9{,}000\cdot 55^2.
Calcule:
9{,}000\cdot 55^2 =9{,}000\cdot 3{,}025 =27{,}225{,}000,
I_v =67{,}500{,}000 + 27{,}225{,}000 =94{,}725{,}000\\ \text{mm}^4.
Momento de inércia total da seção:
I = I_h + I_v =54{,}787{,}500 + 94{,}725{,}000 =149{,}512{,}500\\ \text{mm}^4.

Passo 5

Conversão do momento para unidades compatíveis e explicação da fórmula da tensão:
  • Momento fornecido: \mathrm{M}=100\\ \mathrm{kN\cdot m}.
    Conversão para \mathrm{N\cdot mm}:
\mathrm{M}=100\cdot 10^3\\ \text{N}\cdot 10^3\\ \text{mm} =1{,}0\times 10^8\\ \text{N\cdot mm}.
Fórmula da flexão (já apresentada):
\sigma = -\dfrac{M\,y}{I}.
Explicação curta do sinal: adotei y positivo para cima a partir do centróide; o sinal negativo indica que, para um momento positivo conforme a figura, as fibras acima do neutro ( y>0 ) ficam comprimidas ( \sigma<0 ) e as fibras abaixo do neutro ( y<0 ) ficam tracionadas ( \sigma>0 ).
Agora calculamos y dos pontos A, B e C em relação ao centróide ( \bar{y}=125\\ \text{mm} ):
  • Ponto A: topo da alma. Coordenada vertical do topo medida da base = 30 + 300 = 330\\ \text{mm}. Logo
y_A = 330 - 125 = 205\\ \text{mm}.
  • Ponto B: na junção alma–flange, isto é na face superior da flange, coordenada vertical = 30\\ \text{mm}. Logo
y_B = 30 - 125 = -95\\ \text{mm}.
  • Ponto C: pela figura o ponto C está sobre a face superior da chapa horizontal (flange), afastado da junção. A posição vertical é a mesma da superfície superior da flange; portanto uso a mesma cota de B:
y_C = 30 - 125 = -95\\ \text{mm}.
Observação: a figura não mostra numericamente a espessura exata do ponto C dentro da espessura, mas a posição na superfície superior faz y_C coincidir com y_B.
Cálculo das tensões:
  • Para A:
\sigma_A = -\dfrac{M\,y_A}{I} = -\dfrac{1{,}0\times 10^8\cdot 205}{149{,}512{,}500}.
Calculemos numericamente:
\sigma_A \approx -137{,}2\\ \text{N/mm}^2 = -137{,}2\\ \text{MPa}.
(Sinal negativo indica compressão na fibra superior.)
  • Para B:
\sigma_B = -\dfrac{1{,}0\times 10^8\cdot (-95)}{149{,}512{,}500} \approx +63{,}6\\ \text{N/mm}^2 = +63{,}6\\ \text{MPa}.
(Sinal positivo indica tração na superfície superior da flange, ou seja, a face superior está tracionada.)
  • Para C: como y_C=y_B, a tensão é igual:
\sigma_C = \sigma_B \approx +63{,}6\\ \text{MPa}.

Passo 6

Interpretação final e esboço da distribuição de tensão (descrição):
  • O eixo neutro horizontal está a \bar{y}=125\\ \text{mm} acima da base da chapa horizontal.
  • A distribuição de tensão de flexão ao longo da altura é linear (lei de Bernoulli): varia linearmente de compressão máxima em A até tração máxima na face inferior da chapa horizontal.
  • Valores extremos (na face superior da alma e na face inferior da flange) devem obedecer à proporcionalidade com a distância ao neutro. Para os pontos pedidos:
    • A: compressão aproximadamente 137{,}2\\ \text{MPa}.
    • B e C: tração aproximadamente 63{,}6\\ \text{MPa}.
  • Em um esboço: traçar uma linha vertical representando a seção; marcar o neutro a 125\\ \text{mm} da base; desenhar uma distribuição linear (reta) de tensões com sinal negativo (compressão) acima do neutro alcançando -137{,}2\\ \text{MPa} no topo e positivo (tração) abaixo do neutro alcançando valor de mesma proporção na base. Os pontos B e C ficam ambos na face superior da flange (trajeto de tensão de +63{,}6\\ \text{MPa}).

Resposta

\sigma_A = -137{,}2\\ \text{MPa} (compressão)
\sigma_B = +63{,}6\\ \text{MPa} (tração)
\sigma_C = +63{,}6\\ \text{MPa} (tração)

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