- Se a viga está sujeita a um momento
, determine a tensão de flexão nos pontos A, B e C. Esboce a distribuição de tensão de flexão na seção transversal.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar a tensão de flexão nos pontos
, e quando a viga está sujeita ao momento . - Esboçar (descrever) a distribuição de tensão de flexão na seção transversal.
Informações relevantes dadas (peguei estes valores da imagem enviada):
- Espessura das chapas:
. - Chapa vertical: altura
, espessura . - Chapa horizontal (flange): comprimento (extensão)
, espessura . - Posição geométrica relativa: a chapa vertical está soldada sobre a face superior da chapa horizontal; portanto a base do retângulo vertical fica à cota
acima do plano de referência (base da chapa horizontal). - Posições aproximadas dos pontos (conforme figura):
-
: borda superior da chapa vertical (fibra extrema superior). -
: na junção entre a chapa vertical e a chapa horizontal (superfície superior da chapa horizontal, junto ao pé da alma). -
: ponto sobre a face superior da chapa horizontal, afastado da junção (sobre a mesma cota vertical de ).
-
- O momento aplicado:
(dado do enunciado).
Passo 2
Escolha do método e definição das quantidades que vamos calcular:
- Vamos usar a fórmula clássica da flexão simples para seções compostas:
onde:
-
é a tensão de flexão no ponto considerado (positiva em tração, negativa em compressão segundo a convenção que vou adotar abaixo), -
é o momento de flexão (valor dado), -
é a distância vertical do centroide da seção até o ponto considerado (positiva para cima), -
é o segundo momento de área (inércia) da seção em relação ao eixo neutro (eixo horizontal que passa pelo centroide da seção).
Para aplicar essa fórmula precisamos determinar:
- a posição do centroide da seção (cota
medida a partir da base da chapa horizontal), - o segundo momento de área total
em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide, - as distâncias
de , e até o centroide.
Vou dividir a seção em duas retângulos (chapas): a placa horizontal (flange) e a placa vertical (alma).
Passo 3
Cálculo das áreas e centros de cada peça (todas em mm e mm^2):
- Área da chapa horizontal (flange):
O centróide da flange está a
acima da base (metade da espessura), ou seja
.
- Área da chapa vertical (alma):
A alma começa na face superior da flange (a
da base) e tem altura
; portanto o centróide da alma está a
a partir da base.
Cálculo do centroide da seção composta (
):
Calculemos os termos:
Portanto o centroide da seção está a
acima da base (face inferior da chapa horizontal).
Passo 4
Cálculo do segundo momento de área
da seção composta em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide (
).
Para cada retângulo usamos a fórmula do momento de inércia em torno de seu eixo centroidal horizontal e, quando necessário, somamos a contribuição do termo de Steiner (teorema dos eixos paralelos).
Fórmula do momento de inércia de um retângulo de base
(horizontal, extensão) e altura
(na direção vertical) em torno do seu eixo horizontal que passa pelo seu centro:
- Flange (chapa horizontal):
, .
Distância entre o centróide da flange e o centróide da seção composta:
Contribuição total da flange por Steiner:
Calcule:
- Alma (chapa vertical):
, .
Distância entre o centróide da alma e o centróide da seção composta:
Contribuição total da alma:
Calcule:
Momento de inércia total da seção:
Passo 5
Conversão do momento para unidades compatíveis e explicação da fórmula da tensão:
- Momento fornecido:
.
Conversão para:
Fórmula da flexão (já apresentada):
Explicação curta do sinal: adotei
positivo para cima a partir do centróide; o sinal negativo indica que, para um momento positivo conforme a figura, as fibras acima do neutro (
) ficam comprimidas (
) e as fibras abaixo do neutro (
) ficam tracionadas (
).
Agora calculamos
dos pontos A, B e C em relação ao centróide (
):
- Ponto
: topo da alma. Coordenada vertical do topo medida da base = . Logo
- Ponto
: na junção alma–flange, isto é na face superior da flange, coordenada vertical = . Logo
- Ponto
: pela figura o ponto está sobre a face superior da chapa horizontal (flange), afastado da junção. A posição vertical é a mesma da superfície superior da flange; portanto uso a mesma cota de :
Observação: a figura não mostra numericamente a espessura exata do ponto
dentro da espessura, mas a posição na superfície superior faz
coincidir com
.
Cálculo das tensões:
- Para
:
Calculemos numericamente:
(Sinal negativo indica compressão na fibra superior.)
- Para
:
(Sinal positivo indica tração na superfície superior da flange, ou seja, a face superior está tracionada.)
- Para
: como , a tensão é igual:
Passo 6
Interpretação final e esboço da distribuição de tensão (descrição):
- O eixo neutro horizontal está a
acima da base da chapa horizontal. - A distribuição de tensão de flexão ao longo da altura é linear (lei de Bernoulli): varia linearmente de compressão máxima em
até tração máxima na face inferior da chapa horizontal. - Valores extremos (na face superior da alma e na face inferior da flange) devem obedecer à proporcionalidade com a distância ao neutro. Para os pontos pedidos:
-
: compressão aproximadamente . -
e : tração aproximadamente .
-
- Em um esboço: traçar uma linha vertical representando a seção; marcar o neutro a
da base; desenhar uma distribuição linear (reta) de tensões com sinal negativo (compressão) acima do neutro alcançando no topo e positivo (tração) abaixo do neutro alcançando valor de mesma proporção na base. Os pontos e ficam ambos na face superior da flange (trajeto de tensão de ).