13.17 Seja \mathscr{F} um espaço de funcões f(x) integráveis de -\infty a +\infty com \lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=0; a forma de se definir a derivada de uma distribuição \varphi é
\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi^{\prime}(x) f(x) \mathrm{d} x=-\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x
Seja agora a distribuição \varphi definida por
\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f(x) \mathrm{d} x & \equiv \int_{0_{-}}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x \\\ & =F(\infty)-F(0) \\\ & =-F(0) \end{aligned}
onde F(x) \equiv \int_{-\infty}^{x} f(\xi) \mathrm{d} \xi, e nós estamos supondo que \lim _{x \rightarrow \pm \infty} F(x)=0, ou seja: que F \in \mathscr{F}.
a) Usando obrigatoriamente (*), mostre que
\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi^{\prime}(x) f(x) \mathrm{d} x=f(0)
b) \varphi e \varphi^{\prime} são velhas conhecidas: quem são elas?

Passo 1

O enunciado trabalha com distribuições em \mathscr{F} e diz que a derivada \varphi' de uma distribuição \varphi satisfaz
\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi'(x)\,f(x)\,\mathrm{d}x \;=\; -\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\,f'(x)\,\mathrm{d}x \tag{*}
Além disso, define-se \varphi por
\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\,f(x)\,\mathrm{d}x \;=\;\int_{0_-}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x
e assume-se que f e sua primitiva F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(\xi)\,\mathrm{d}\xi tendem a zero em \pm\infty. Queremos (a) calcular \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi'(x)\,f(x)\,\mathrm{d}x e (b) reconhecer \varphi e \varphi' como distribuições conhecidas.

Passo 2

Usando (*),
\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi'(x)\,f(x)\,\mathrm{d}x \;=\; -\,\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)\,f'(x)\,\mathrm{d}x \;=\; -\,\int_{0_-}^{\infty}f'(x)\,\mathrm{d}x.
Pela regra de Barrow (Teorema Fundamental do Cálculo) e sabendo que f(x)\to0 quando x\to+\infty,
\int_{0_-}^{\infty}f'(x)\,\mathrm{d}x = \bigl[f(x)\bigr]_{0_-}^{\infty} = 0 - f(0) = -\,f(0).
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\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi'(x)\,f(x)\,\mathrm{d}x = -\bigl(-f(0)\bigr) = f(0).

Passo 3

Reparando que a distribuição que satisfaz
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\,f(x)\,\mathrm{d}x = f(0)
é justamente a \emph{delta de Dirac} \delta(x), concluímos que \varphi'=\delta. A distribuição \varphi que, ao atuar em f, produz \int_{0_-}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x é a função de Heaviside H(x).

Resposta

\varphi(x)=H(x) (função degrau de Heaviside) \varphi'(x)=\delta(x) (delta de Dirac)

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