13.17 Seja \mathscr{F} um espaço de funcões f(x) integráveis de -\infty a +\infty com \lim _{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=0; a forma de se definir a derivada de uma distribuição \varphi é
\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi^{\prime}(x) f(x) \mathrm{d} x=-\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f^{\prime}(x) \mathrm{d} x
Seja agora a distribuição \varphi definida por
\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(x) f(x) \mathrm{d} x & \equiv \int_{0_{-}}^{\infty} f(x) \mathrm{d} x \\\ & =F(\infty)-F(0) \\\ & =-F(0) \end{aligned}
onde F(x) \equiv \int_{-\infty}^{x} f(\xi) \mathrm{d} \xi, e nós estamos supondo que \lim _{x \rightarrow \pm \infty} F(x)=0, ou seja: que F \in \mathscr{F}.
a) Usando obrigatoriamente (*), mostre que
e assume-se que f e sua primitiva F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(\xi)\,\mathrm{d}\xi tendem a zero em \pm\infty. Queremos (a) calcular \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi'(x)\,f(x)\,\mathrm{d}x e (b) reconhecer \varphi e \varphi' como distribuições conhecidas.
é justamente a \emph{delta de Dirac} \delta(x), concluímos que \varphi'=\delta. A distribuição \varphi que, ao atuar em f, produz \int_{0_-}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x é a função de Heaviside H(x).
Resposta
\varphi(x)=H(x) (função degrau de Heaviside) \varphi'(x)=\delta(x) (delta de Dirac)