Calcule as integrais impróprias ou diga quando são divergentes.
\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+5 x+6} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+5x+6}\,dx.
Note que o denominador fatoriza em x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3), cujas raízes são x=-2 e x=-3. Como o intervalo de integração vai de -1 a \infty, não há singularidades internas, apenas a impropriedade no infinito. Vamos, portanto, usar decomposição em frações parciais e depois avaliar o limite quando o ponto superior tende a \infty.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{x^{2}+5x+6} =\frac{1}{(x+2)(x+3)} =\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}.
Multiplicando por (x+2)(x+3) obtemos
1 = A(x+3) + B(x+2).
Comparando coeficientes de x e termos constantes:
A + B = 0,\quad 3A + 2B = 1 \;\Longrightarrow\; A=1,\;B=-1.
Logo,
\frac{1}{x^{2}+5x+6} =\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}.

Passo 3

Integramos a expressão obtida:
\int \frac{1}{x+2}\,dx - \int \frac{1}{x+3}\,dx = \ln\bigl|x+2\bigr| - \ln\bigl|x+3\bigr| + C = \ln\!\Bigl|\frac{x+2}{x+3}\Bigr| + C.

Passo 4

Escrevemos a integral imprópria como limite:
\int_{-1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+5x+6}\,dx = \lim_{t\to\infty} \int_{-1}^{t}\frac{1}{x^{2}+5x+6}\,dx.
Usando a antiderivada:
\int_{-1}^{t}\frac{1}{x^{2}+5x+6}\,dx = \Bigl[\ln\!\Bigl|\tfrac{x+2}{x+3}\Bigr|\Bigr]_{x=-1}^{x=t} = \ln\!\Bigl|\tfrac{t+2}{t+3}\Bigr| \;-\;\ln\!\Bigl|\tfrac{-1+2}{-1+3}\Bigr| = \ln\!\Bigl(\tfrac{t+2}{t+3}\Bigr) - \ln\!\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr).

Passo 5

Calculamos o limite quando t\to\infty. Como \tfrac{t+2}{t+3}\to1, temos
\lim_{t\to\infty}\ln\!\Bigl(\tfrac{t+2}{t+3}\Bigr) = \ln(1) = 0
e portanto
\int_{-1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}+5x+6}\,dx = 0 - \ln\!\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr) = \ln(2).

Resposta

\ln(2)

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