13.16 Utilizando obrigatoriamente transformada de Laplace, resolva o problema
Ou seja: encontre
. É útil saber que
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de transporte forçada
com condições iniciais e de contorno
O conteúdo utilizado será a transformada de Laplace em
, que transforma a PDE em uma EDO em
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em
definindo
Usamos:
Logo a PDE vira
Passo 3
Escrevemos como EDO em
:
O fator integrante é
Multiplicando por
e integrando de
a
:
Como
temos
Passo 4
Usamos
. Logo
Invertendo termo a termo:
-
2. 3.
Passo 5
Somando os três termos, a solução fica
Em forma piecewise:
se , então
e
se
se
, então
e