13-22 Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
9 y^2+4 z^2=x^2+36

Passo 1

Temos a superfície dada pela equação
9y^2 + 4z^2 = x^2 + 36
O conteúdo aqui é superfícies quádricas, e vamos usar cortes (planos) e também reescrever na forma canônica para identificar o tipo.

Passo 2

Primeiro, trazemos tudo para um lado e dividimos por 36 para ter a forma padrão. Ficamos com
9y^2 + 4z^2 - x^2 = 36
Dividindo cada termo por 36:
-x^236 + y^24 + z^29 = 1
Isso já nos diz que temos dois sinais positivos e um sinal negativo.

Passo 3

Agora vamos aos cortes no plano x = k. Substituindo x=k em
9y^2 + 4z^2 = k^2 + 36
vemos que, para cada valor fixo de k, a seção no plano x=k é a elipse
y^2tfrack^2+369 + z^2tfrack^2+364 = 1

Passo 4

No plano y = k a equação vira
4z^2 - x^2 = 36 - 9k^2
Quando 36 - 9k^2>0 isso é uma hipérbole no plano y=k, se 36-9k^2=0 são duas retas, e se 36-9k^2<0 não há pontos reais.

Passo 5

No plano z = k temos
9y^2 - x^2 = 36 - 4k^2
De modo análogo, para 36-4k^2>0 surge uma hipérbole no plano z=k, para 36-4k^2=0 duas retas e para 36-4k^2<0 nada.

Passo 6

Pelas seções elípticas em x=k cujo tamanho cresce conforme |k| aumenta, e pelas hipérboles nos cortes y=k e z=k, concluímos o esboço: um conjunto de elipses ligadas formando uma superfície semelhante a uma cintura que se abre para os lados.

Resposta

Hiperbolóide de uma folha orientado ao longo do eixo x.

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