Desenvolva, manualmente, os três exemplos do livro do NISE (calcule a transformada inversa de Laplace):
F(s)=2(s+1)(s+2)^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de F(s)= 2(s+1)(s+2)^2. O conteúdo principal é transformada inversa de Laplace via frações parciais, e vamos precisar usar a tabela básica de pares de Laplace e decompor a função em termos simples cujas inversas conhecemos.

Passo 2

Começamos fazendo a decomposição em frações parciais:
2(s+1)(s+2)^2=As+1+Bs+2+C(s+2)^2
Multiplica ambos os lados por (s+1)(s+2)^2 para achar A, B e C.
Temos então:
2=A(s+2)^2+B(s+1)(s+2)+C(s+1)
Expandindo e agrupando termos em potências de s fica:
2=(A+B)s^2+(4A+3B+C)s+(4A+2B+C)
Igualando coeficientes em s², s e termo constante:
1) A+B=0
2) 4A+3B+C=0
3) 4A+2B+C=2

Passo 3

Resolvendo esse sistema: de (1) vem B=-A. Substituindo em (2): 4A+3(-A)+C= A+C=0 então C=-A. Em (3): 4A+2(-A)+(-A)=A=2. Logo A=2, B=-2, C=-2.

Passo 4

Reescrevendo F(s) com os coeficientes encontrados:
F(s)=2s+1-2s+2-2(s+2)^2

Passo 5

Agora usamos as transformadas inversas conhecidas:
  • L^-11/(s+a)=e^-at
  • L^-11/(s+a)^2=t e^-at

Passo 6

Aplicando a linearidade e os pares de Laplace:
f(t)=2e^-1,t-2e^-2,t-2,t,e^-2,t
Essa é a função no domínio do tempo cuja transformada de Laplace é F(s).

Resposta

f(t)=2e{-t}-2e{-2t}-2t e^{-2t}

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