13 Na ausência de campo magnético \vec{B}, o tempo que o elétron leva para percorrer a distância d_{2}+d_{3} entre a fenda e a tela luminescente não dependerá da intensidade do campo elétrico \vec{E}.

Passo 1

O enunciado afirma: “Na ausência de campo magnético \vec{B}, o tempo que o elétron leva para percorrer a distância d_{2}+d_{3} entre a fenda e a tela luminescente não dependerá da intensidade do campo elétrico \vec{E}.”\n
Informações explícitas dadas:
\;1.\; Existe uma distância entre fenda e tela igual a d_{2}+d_{3}.\n
\;2.\; Não há campo magnético: \vec{B}=\vec{0}.\n
\;3.\; Há um campo elétrico \vec{E} presente (a intensidade e direção não foram especificadas no enunciado que você me enviou).\n
O que a afirmação pede: determinar se o tempo que o elétron leva para atravessar a distância \;d_{2}+d_{3}\; é ou não independente da intensidade de \vec{E}.\n
Observação importante (sobre as informações que faltam): o enunciado que você mandou não especifica a direção de \vec{E} em relação à velocidade do elétron ao sair da fenda. Essa orientação é necessária para decidir se \vec{E} faz trabalho sobre o elétron (e portanto altera sua velocidade) ou não. Sem essa figura/outra descrição da orientação, a questão fica ambígua — é necessária a informação da direção de \vec{E} para uma resposta definitiva.

Passo 2

Princípio físico relevante (explicação didática): a força elétrica sobre uma partícula de carga q é dada por
\vec{F}=q\vec{E},
já que \vec{B}=\vec{0}. A potência instantânea (taxa de variação da energia cinética) fornecida pela força é o produto escalar entre a força e a velocidade:
P=\vec{F}\cdot\vec{v}=q\vec{E}\cdot\vec{v}.
Se \vec{E} tem componente paralela à velocidade \vec{v}, então \vec{E}\cdot\vec{v}\neq 0 e a potência é diferente de zero: a força realiza trabalho, a energia cinética muda e a velocidade (módulo) do elétron varia com o tempo. Se \vec{E} é estritamente perpendicular à velocidade instantânea, então \vec{E}\cdot\vec{v}=0, a potência é zero e a energia cinética (o módulo da velocidade) não muda — a força só altera a direção da velocidade, não o módulo.
Comentário intuitivo: pense como num projétil. Uma força perpendicular muda a direção (desvia), mas não aumenta a rapidez instantânea; uma força com componente na mesma direção do movimento acelera ou desacelera o projétil, mudando o tempo de chegada.

Passo 3

Análise quantitativa — caso em que \vec{E} tem componente paralela à velocidade (situação em que a afirmação normalmente falha).
Defina o comprimento total a percorrer \ell=d_{2}+d_{3}. Suponha que a componente da velocidade na direção de \ell inicial é v_0 (módulo inicial na direção do deslocamento) e que a aceleração ao longo dessa direção é uniforme e igual a
a=\frac{F_{\parallel}}{m}=\frac{qE_{\parallel}}{m},
onde E_{\parallel} é a componente de \vec{E} paralela ao deslocamento e m é a massa do elétron. (Nota: para o elétron q=-e, sinal negativo indica direção da força, mas aqui nos interessa a magnitude da aceleração em função de E_{\parallel}.)\n
O movimento unidimensional com aceleração constante satisfaz
\ell = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Essa é uma equação quadrática em t. Resolvendo para t (a solução positiva física) obtemos
t=\frac{-v_0+\sqrt{v_0^{2}+2a\ell}}{a},
o que deixa explícito que t depende de a e, portanto, de E_{\parallel}. Assim, se \vec{E} tem componente paralela ao deslocamento, o tempo depende da intensidade de \vec{E}. Exemplo numérico simples: se v_0 é pequeno e E_{\parallel} aumenta, a aumenta e t diminui — ou se E_{\parallel} se opõe ao movimento, a negativo e t aumenta.

Passo 4

Análise quantitativa — caso em que \vec{E} é estritamente perpendicular à velocidade (situação em que a afirmação é verdadeira).
Suponha que ao atravessar a distância \ell=d_{2}+d_{3} o vetor \vec{E} seja perpendicular à direção do deslocamento. Então, conforme explicado no Passo 2, a potência P=q\vec{E}\cdot\vec{v}=0, a energia cinética e o módulo da velocidade permanecem constantes. Chamando o módulo constante de velocidade ao longo de \ell de v_0, o tempo necessário é simplesmente
t=\frac{\ell}{v_0},
que não depende da intensidade de \vec{E}. Exemplo físico clássico: num tubo de raios catódicos (CRT), se o campo elétrico entre placas defletoras é vertical e a velocidade do elétron é horizontal, o tempo de voo horizontal não muda com a tensão aplicada às placas — o que muda é apenas o desvio vertical.

Passo 5

Caso geral e conclusão física clara.
No caso geral, \vec{E} pode ter uma componente paralela E_{\parallel} e uma componente perpendicular E_{\perp} em relação à direção do deslocamento. Somente a componente paralela influencia o módulo da velocidade e, portanto, o tempo de travessia. Conclusão prática:
\;-\; Se E_{\parallel}\neq 0 então o tempo depende de |\vec{E}| — a afirmação é falsa.\n
\;-\; Se E_{\parallel}=0 (ou seja, \vec{E} estritamente perpendicular à velocidade) então o tempo não depende da intensidade de \vec{E} — a afirmação é verdadeira.\n
Lembrando: sem a figura ou a especificação da direção de \vec{E} relativamente à velocidade do elétron, não é possível decidir unicamente se a afirmação dada é verdadeira ou falsa.

Resposta

A afirmação é condicional: depende da direção de \vec{E}.\n
Se \vec{E} for estritamente perpendicular à velocidade do elétron, a afirmação é verdadeira; caso \vec{E} tenha componente paralela ao deslocamento, a afirmação é falsa.

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