Calcule as seguintes integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- O integrando é
. - A integração interna é em
, com limites até . - A integração externa é em
, com variando de até . - A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla (o número real resultante).
Passo 2
Vamos integrar primeiro em relação a
(como está indicado). Quando integramos em relação a
, tratamos
como constante. Precisamos de uma primitiva em
para a função
. Uma primitiva (em
) é dada por
onde
é constante de integração. Explicando cada termo:
porque
é constante em relação a
; e
porque a derivada de
é
.
Passo 3
Agora aplicamos a primitiva nos limites
e
, ou seja, calculamos
Desenvolvendo os termos:
Portanto, a integral interna já simplifica para a expressão em
Breve observação didática e confissão amiga: você pode estranhar que a fórmula deu a mesma expressão mesmo quando
(isto é, para
), porque aí o limite inferior é maior que o superior. Não se assuste — a avaliação
já leva em conta a orientação de integração. Por exemplo, para
a integral é
, e avaliando a primitiva dá exatamente
. Então a expressão
vale para todo
.
Passo 4
Agora integramos a expressão obtida em
no intervalo
:
Calculamos a primitiva em
:
Avaliaremos de
a
:
Passo 5
Interpretação rápida e motivadora: o resultado zero significa que as contribuições positivas e negativas da função
sobre a região de integração se cancelam exatamente. Conseguiu ver como integrar por etapas e cuidar da avaliação das primitivas — isso é exatamente o que costuma cair na prova!