Calcule as seguintes integrais
\int_{0}^{1} \int_{2 x}^{1}(x-y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1} \int_{2x}^{1} (x-y)\,dy\,dx.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • O integrando é (x-y).
  • A integração interna é em y, com limites y=2x até y=1.
  • A integração externa é em x, com x variando de 0 até 1.
  • A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla (o número real resultante).

Passo 2

Vamos integrar primeiro em relação a y (como está indicado). Quando integramos em relação a y, tratamos x como constante. Precisamos de uma primitiva em y para a função x-y. Uma primitiva (em y) é dada por
\int (x-y)\,dy = xy - \frac{y^{2}}{2} + C,
onde C é constante de integração. Explicando cada termo: \int x\,dy = x\cdot y porque x é constante em relação a y; e \int (-y)\,dy = -\dfrac{y^{2}}{2} porque a derivada de \dfrac{y^{2}}{2} é y.

Passo 3

Agora aplicamos a primitiva nos limites y=2x e y=1, ou seja, calculamos
\left[ xy - \frac{y^{2}}{2} \right]_{y=2x}^{y=1} = \Bigl(x\cdot 1 - \frac{1^{2}}{2}\Bigr) - \Bigl(x\cdot (2x) - \frac{(2x)^{2}}{2}\Bigr).
Desenvolvendo os termos:
x - \frac{1}{2} - \bigl(2x^{2} - \frac{4x^{2}}{2}\bigr) = x - \frac{1}{2} - \bigl(2x^{2} - 2x^{2}\bigr) = x - \frac{1}{2}.
Portanto, a integral interna já simplifica para a expressão em x
\int_{2x}^{1} (x-y)\,dy = x - \frac{1}{2}.
Breve observação didática e confissão amiga: você pode estranhar que a fórmula deu a mesma expressão mesmo quando 2x>1 (isto é, para x>1/2), porque aí o limite inferior é maior que o superior. Não se assuste — a avaliação F(1)-F(2x) já leva em conta a orientação de integração. Por exemplo, para x=0{,}8 a integral é \int_{1{,}6}^{1}(0{,}8-y)\,dy, e avaliando a primitiva dá exatamente 0{,}8-\tfrac{1}{2}=0{,}3. Então a expressão x-\tfrac{1}{2} vale para todo x\in[0,1].

Passo 4

Agora integramos a expressão obtida em x no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1} \left(x - \frac{1}{2}\right) dx.
Calculamos a primitiva em x:
\int \left(x - \frac{1}{2}\right) dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2} + C.
Avaliaremos de 0 a 1:
\left[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{2}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) - \left(0 - 0\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.

Passo 5

Interpretação rápida e motivadora: o resultado zero significa que as contribuições positivas e negativas da função (x-y) sobre a região de integração se cancelam exatamente. Conseguiu ver como integrar por etapas e cuidar da avaliação das primitivas — isso é exatamente o que costuma cair na prova!

Resposta

0

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