13- Um avião supersônico, voando para o leste a uma latitude de 15 km , passa diretamente acima do ponto P . O estrondo sônico é escutado no ponto P , quando o avião está 22 km a leste do ponto P. Qual é a velocidade do avião supersônico? Considerar vsom =340 m / s.
Resposta: 604 m / s

Passo 1

O avião voa horizontalmente a uma altura de 15\,\text{km} e passa exatamente sobre o ponto P. O som emitido nesse instante se propaga com velocidade v_s=340\,\mathrm{m/s}. Quando o estrondo chega a P, o avião já está a 22\,\text{km} a leste de P. Precisamos encontrar a velocidade v do avião usando a geometria do cone de Mach.

Passo 2

No regime supersônico, o semiângulo \theta do cone de Mach satisfaz
\sin\theta=\frac{v_s}{v}\,.

Passo 3

Do instante em que o som foi emitido até o instante em que ele chega a P, formou-se um triângulo retângulo cujos catetos são a altura do avião e o deslocamento horizontal. Assim,
\tan\theta=\frac{\text{altura}}{\text{distância horizontal}} =\frac{15000}{22000} =\frac{15}{22}\,.â

Passo 4

A partir de \tan\theta=\tfrac{15}{22} calculamos
\sin\theta =\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}} =\frac{15/22}{\sqrt{1+(15/22)^2}} =\frac{15}{\sqrt{15^2+22^2}} =\frac{15}{\sqrt{709}}\,.

Passo 5

Substituindo em \sin\theta=v_s/v e isolando v,
v=\frac{v_s}{\sin\theta} =\frac{340}{15/\sqrt{709}} =\frac{340\,\sqrt{709}}{15}\,.

Passo 6

Numericamente, \sqrt{709}\approx26{,}63, então
v\approx\frac{340\times26{,}63}{15}\approx604\\ \mathrm{m/s}\,.

Resposta

v\approx604\\ \mathrm{m/s}

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