7- Duas ondas sonoras oscilam em fase. Num ponto a 5,00 m de uma fonte, e a 5,17 m da outra, a amplitude da onda sonora de cada fonte, separadamente, é ΔPm. Achar a amplitude da onda resultante se a freqüência das ondas sonoras for (a) 1000 Hz , (b) 2000 Hz e (c) 500 Hz . Usar Vsom =340 m / s.
(a) 0 , (b) 2 ΔPm, (c) 1,41 ΔPm.

Passo 1

O enunciado descreve duas fontes sonoras que emitem ondas em fase e, num determinado ponto, estão a r_1=5{,}00 m da primeira e r_2=5{,}17 m da segunda. Cada fonte isoladamente produziria ali uma variação de pressão de amplitude \Delta P_m. Pergunta-se a amplitude da onda resultante para três frequências, sabendo que a velocidade do som é v=340 m/s. O conteúdo envolve interferência de duas ondas coerentes, cálculo de diferença de caminho e da fase resultante.

Passo 2

Quando duas ondas de mesma amplitude \Delta P_m e fase inicial idêntica chegam com diferença de fase \varphi, a amplitude resultante é
\Delta P_R \;=\; 2\,\Delta P_m\,\bigl|\cos\frac{\varphi}{2}\bigr|.
A diferença de fase vem de
\varphi \;=\; \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r,
onde \Delta r = r_2 - r_1 é a diferença de caminho e \lambda é o comprimento de onda.

Passo 3

Calculamos a diferença de caminho:
\Delta r = 5{,}17 - 5{,}00 = 0{,}17\text{ m}.

Passo 4

Como \lambda = v/f, podemos escrever
\frac{\varphi}{2} = \frac{\pi}{\lambda}\,\Delta r = \frac{\pi\,f\,\Delta r}{v}.
Assim,
\Delta P_R = 2\,\Delta P_m\,\Bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{\pi\,f\,\Delta r}{v}\bigr)\Bigr|.

Passo 5

Caso (a): f=1000 Hz.
\frac{\pi\,f\,\Delta r}{v} = \frac{\pi\times1000\times0{,}17}{340} = \frac{\pi}{2},
então
\Delta P_R = 2\,\Delta P_m\,\bigl|\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr| = 2\,\Delta P_m\times0 = 0.

Passo 6

Caso (b): f=2000 Hz.
\frac{\pi\,f\,\Delta r}{v} = \frac{\pi\times2000\times0{,}17}{340} = \pi,
então
\Delta P_R = 2\,\Delta P_m\,\bigl|\cos(\pi)\bigr| = 2\,\Delta P_m\times1 = 2\,\Delta P_m.

Passo 7

Caso (c): f=500 Hz.
\frac{\pi\,f\,\Delta r}{v} = \frac{\pi\times500\times0{,}17}{340} = \frac{\pi}{4},
então
\Delta P_R = 2\,\Delta P_m\,\bigl|\cos(\tfrac{\pi}{4})\bigr| = 2\,\Delta P_m\times\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\,\Delta P_m\approx1{,}41\,\Delta P_m.

Resposta

(a) 0
(b) 2\,\Delta P_m
(c) 1{,}41\,\Delta P_m

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