Utilizando obrigatoriamente transformada de Laplace, resolva
13.12 Resolva
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-3 \frac{d x}{d t}+2 x=\delta(t), x(0)=0, x^{\prime}(0)=1
usando obrigatoriamente transformada de Laplace. Note que \delta(t) é a distribuição delta de Dirac.

Passo 1

O enunciado pede resolver, via transformada de Laplace, a equação diferencial com impulso de Dirac
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} - 3\frac{dx}{dt} + 2x = \delta(t), \quad x(0)=0,\;x'(0)=1.
O que vamos usar:
– Propriedades da transformada de Laplace de derivadas, ou seja \displaystyle \mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s)-x(0) e \displaystyle \mathcal{L}\{x''(t)\}=s^{2}X(s)-s\,x(0)-x'(0).
\displaystyle \mathcal{L}\{\delta(t)\}=1.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em cada termo da EDO, obtemos
\mathcal{L}\{x''\} - 3\,\mathcal{L}\{x'\} +2\,\mathcal{L}\{x\} = \mathcal{L}\{\delta(t)\}
ou seja
\bigl(s^{2}X(s)-s\,x(0)-x'(0)\bigr) -3\bigl(sX(s)-x(0)\bigr) +2\,X(s) =1.

Passo 3

Substituindo x(0)=0 e x'(0)=1 na equação de X(s), fica
s^{2}X(s)-1 \;-\;3s\,X(s) \;+\;2\,X(s) =1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(s^{2}-3s+2\bigr)X(s)=2.
Logo
X(s)=\frac{2}{s^{2}-3s+2} =\frac{2}{(s-1)(s-2)}.

Passo 4

Para inverter a transformada, separamos em frações parciais:
\frac{2}{(s-1)(s-2)} =\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}
com
2 = A(s-2)+B(s-1).
Tomando s=1 2=-A, logo A=-2.
Tomando s=2 2=B, logo B=2.
Assim
X(s)=-\frac{2}{s-1}+\frac{2}{s-2}.

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{-\tfrac{2}{s-1}\Bigr\} = -2\,e^{t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{2}{s-2}\Bigr\} = 2\,e^{2t}.
Portanto, para t\ge0,
x(t)=2\bigl(e^{2t}-e^{t}\bigr).

Resposta

\displaystyle x(t)=2\bigl(e^{2t}-e^{t}\bigr) para t\ge0.

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