4.16* Se a energia potencial de uma partícula é U(r)=k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right), onde k é uma constante, qual é a força sobre a partícula?

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial de uma partícula
U(x,y,z)=k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right),
onde k é uma constante, e pede: qual é a força sobre a partícula?
Informações relevantes fornecidas:
  • A função U está expressa em termos das coordenadas cartesianas x,y,z.
  • A constante k é dada (pode ser positiva ou negativa, dependendo do problema).
  • A questão pede a força vetorial \mathbf{F} associada a essa energia potencial.

Passo 2

Conceito chave que vamos usar (explicado com calma):
  • Para uma força conservativa derivada de uma energia potencial U(x,y,z), a força é o negativo do gradiente de U:
\mathbf{F} = -\nabla U.
  • O operador gradiente \nabla em coordenadas cartesianas dá um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de U:
\displaystyle \nabla U = \left(\frac{\partial U}{\partial x},\;\frac{\partial U}{\partial y},\;\frac{\partial U}{\partial z}\right).
Explicando as notações: \frac{\partial U}{\partial x} significa “a taxa de variação de U quando eu mudo só x, mantendo y e z fixos”. O resultado é um número (função de x,y,z) que será a componente x do vetor gradiente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de U passo a passo. Começando por x:
U(x,y,z)=k(x^{2}+y^{2}+z^{2}).
Tratando y e z como constantes ao derivar em relação a x:
\frac{\partial U}{\partial x}=k\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=k\cdot 2x = 2kx.
De forma análoga para y:
\frac{\partial U}{\partial y}=k\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=k\cdot 2y = 2ky.
E para z:
\frac{\partial U}{\partial z}=k\cdot\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=k\cdot 2z = 2kz.

Passo 4

Montar o gradiente com as componentes obtidas:
\nabla U = (2kx,\;2ky,\;2kz).
Aplicando a regra da força conservativa:
\mathbf{F} = -\nabla U = (-2kx,\;-2ky,\;-2kz).
Escrevendo em notação vetorial com vetores unitários:
\mathbf{F} = -2k\bigl(x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}\bigr).

Passo 5

Interpretação física e formas alternativas úteis para a prova:
  • Definindo o vetor posição \displaystyle \mathbf{r}=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}, a força fica compacta:
\mathbf{F} = -2k\,\mathbf{r}.
  • Isso mostra que a força é central (aponta para a origem) e é proporcional ao deslocamento \mathbf{r}: é uma força restauradora linear, como a de uma mola, só que com constante efetiva 2k.
  • Magnitude da força:
\lVert\mathbf{F}\rVert = 2|k|\,\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Exemplo rápido para fixar: se k=3 e a partícula está em (x,y,z)=(1,0,0), então \mathbf{F}=(-6,0,0).

Resposta

\mathbf{F}=-2k\bigl(x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k}\bigr)= -2k\,\mathbf{r}

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