4.16* Se a energia potencial de uma partícula é
, onde
é uma constante, qual é a força sobre a partícula?
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial de uma partícula
onde
é uma constante, e pede: qual é a força sobre a partícula?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está expressa em termos das coordenadas cartesianas . - A constante
é dada (pode ser positiva ou negativa, dependendo do problema). - A questão pede a força vetorial
associada a essa energia potencial.
Passo 2
Conceito chave que vamos usar (explicado com calma):
- Para uma força conservativa derivada de uma energia potencial
, a força é o negativo do gradiente de :
- O operador gradiente
em coordenadas cartesianas dá um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de :
Explicando as notações:
significa “a taxa de variação de
quando eu mudo só
, mantendo
e
fixos”. O resultado é um número (função de
) que será a componente
do vetor gradiente.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
passo a passo. Começando por
:
Tratando
e
como constantes ao derivar em relação a
:
De forma análoga para
:
E para
:
Passo 4
Montar o gradiente com as componentes obtidas:
Aplicando a regra da força conservativa:
Escrevendo em notação vetorial com vetores unitários:
Passo 5
Interpretação física e formas alternativas úteis para a prova:
- Definindo o vetor posição
, a força fica compacta:
- Isso mostra que a força é central (aponta para a origem) e é proporcional ao deslocamento
: é uma força restauradora linear, como a de uma mola, só que com constante efetiva . - Magnitude da força:
- Exemplo rápido para fixar: se
e a partícula está em , então .