13 A capacidade calorifica de um sistema é dada em função da temperatura pela relação:
onde
são constantes e T é a temperatura. Determine a expressão do calor fornecido ao sistema quando a temperatura passar de um valor inicial
até um valor final
.
SOLUÇÃO
O calor fornecido ao sistema é obtido pela integral:
Integrando-se a relação acima nos limites considerados, tem-se:
onde
SOLUÇÃO
O calor fornecido ao sistema é obtido pela integral:
Integrando-se a relação acima nos limites considerados, tem-se:
Passo 1
O enunciado dá a capacidade calorífica do sistema como função da temperatura e pede o calor fornecido ao sistema quando a temperatura varia de um valor inicial para um valor final. Informações e pedido explícitos:
, onde
,
e
são constantes e
é a temperatura.
Pedir: determinar a expressão do calor fornecido quando a temperatura passa de
até
.
Pedir: determinar a expressão do calor
Passo 2
Por que usamos uma integral aqui? Explicação didática e chave conceitual: a capacidade calorífica
é a razão entre um pequeno calor fornecido
e a variação de temperatura
. Ou seja,
Isolando
obtemos
. Para obter o calor total entre
e
somamos esses incrementos (integrando):
Essa é a fórmula que vamos usar.
Passo 3
Substituímos a expressão dada de
na integral. Montamos a integral definida que precisamos calcular:
Agora vamos integrar termo a termo. Lembrete das regras de integração que usaremos:
- Para
,
- Para
,
Aplicamos essas regras aos termos
Passo 4
Calculemos a integral indefinida termo a termo, explicando cada passo:
Para o primeiro termo:
Para o primeiro termo:
Aqui usamos a regra com
:
vira
, e a constante
sai multiplicando.
Para o segundo termo:
Para o segundo termo:
Usamos
para aplicar a regra.
Para o terceiro termo:
Para o terceiro termo:
Usamos a regra especial do logaritmo natural para
.
Somando os resultados temos a primitiva (integral indefinida):
Somando os resultados temos a primitiva (integral indefinida):
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida entre
e
. Substituímos os limites na primitiva e fazemos a diferença (fundamento do Teorema Fundamental do Cálculo):
Isso significa calcular o valor da expressão em
menos o valor em
. Fazendo a conta:
Agrupando termos semelhantes e usando a propriedade do logaritmo
, obtemos a forma mais compacta:
Passo 6
Observações finais importantes e dicas para prova:
- A expressão acima é válida desde que as temperaturas
e sejam positivas, pois usamos . Em problemas físicos de temperatura absoluta (Kelvin) isso é normalmente satisfeito.
- Em prova, escreva sempre claramente que
, substitua a função, integre termo a termo e aplique os limites — esse é o roteiro rápido que os examinadores esperam.
- Se quiser praticar: integre também funções parecidas, por exemplo
para fixar as regras de potência e do logaritmo.