13 A capacidade calorifica de um sistema é dada em função da temperatura pela relação:
\mathrm{C}^{\prime}=\mathrm{AT}-\mathrm{BT}^{2}+(\mathrm{C} / \mathrm{T})
onde \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} são constantes e T é a temperatura. Determine a expressão do calor fornecido ao sistema quando a temperatura passar de um valor inicial T_{i} até um valor final T_{f}.
SOLUÇÃO
O calor fornecido ao sistema é obtido pela integral:
Q=\int C^{\prime} d T=\int\left(A T-B T^{2}+C T^{-1}\right) d T
Integrando-se a relação acima nos limites considerados, tem-se:

Passo 1

O enunciado dá a capacidade calorífica do sistema como função da temperatura e pede o calor fornecido ao sistema quando a temperatura varia de um valor inicial para um valor final. Informações e pedido explícitos:

\mathrm{C}'(T)=A\,T - B\,T^{2} + \dfrac{C}{T}, onde A, B e C são constantes e T é a temperatura.

Pedir: determinar a expressão do calor Q fornecido quando a temperatura passa de T_{i} até T_{f}.

Passo 2

Por que usamos uma integral aqui? Explicação didática e chave conceitual: a capacidade calorífica \mathrm{C}'(T) é a razão entre um pequeno calor fornecido \mathrm{d}Q e a variação de temperatura \mathrm{d}T. Ou seja,
\mathrm{C}'(T)=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T}.
Isolando \mathrm{d}Q obtemos \mathrm{d}Q=\mathrm{C}'(T)\,\mathrm{d}T. Para obter o calor total entre T_{i} e T_{f} somamos esses incrementos (integrando):
Q=\int_{T_{i}}^{T_{f}}\mathrm{C}'(T)\,\mathrm{d}T.
Essa é a fórmula que vamos usar.

Passo 3

Substituímos a expressão dada de \mathrm{C}'(T) na integral. Montamos a integral definida que precisamos calcular:
Q=\int_{T_{i}}^{T_{f}}\left(A\,T - B\,T^{2} + \dfrac{C}{T}\right)\mathrm{d}T.
Agora vamos integrar termo a termo. Lembrete das regras de integração que usaremos:
  1. Para n\neq -1,
\int T^{n}\mathrm{d}T=\frac{T^{n+1}}{n+1}.
  1. Para n=-1,
\int T^{-1}\mathrm{d}T=\int \frac{1}{T}\mathrm{d}T=\ln T.

Aplicamos essas regras aos termos A\,T (que é A T^{1}), -B\,T^{2} (que é -B T^{2}) e C/T (que é C T^{-1}).

Passo 4

Calculemos a integral indefinida termo a termo, explicando cada passo:

Para o primeiro termo:
\int A\,T\,\mathrm{d}T = A\int T\,\mathrm{d}T = A\cdot\frac{T^{2}}{2}=\frac{A}{2}T^{2}.
Aqui usamos a regra com n=1: T^{1} vira T^{2}/2, e a constante A sai multiplicando.

Para o segundo termo:
\int -B\,T^{2}\mathrm{d}T = -B\int T^{2}\mathrm{d}T = -B\cdot\frac{T^{3}}{3}=-\frac{B}{3}T^{3}.
Usamos n=2 para aplicar a regra.

Para o terceiro termo:
\int \frac{C}{T}\mathrm{d}T = C\int T^{-1}\mathrm{d}T = C\ln T.
Usamos a regra especial do logaritmo natural para T^{-1}.

Somando os resultados temos a primitiva (integral indefinida):
\int\left(A\,T - B\,T^{2} + \frac{C}{T}\right)\mathrm{d}T = \frac{A}{2}T^{2} - \frac{B}{3}T^{3} + C\ln T + \text{constante}.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida entre T_{i} e T_{f}. Substituímos os limites na primitiva e fazemos a diferença (fundamento do Teorema Fundamental do Cálculo):
Q=\left[\frac{A}{2}T^{2} - \frac{B}{3}T^{3} + C\ln T\right]_{T_{i}}^{T_{f}}.
Isso significa calcular o valor da expressão em T_{f} menos o valor em T_{i}. Fazendo a conta:
Q=\left(\frac{A}{2}T_{f}^{2} - \frac{B}{3}T_{f}^{3} + C\ln T_{f}\right) - \left(\frac{A}{2}T_{i}^{2} - \frac{B}{3}T_{i}^{3} + C\ln T_{i}\right).
Agrupando termos semelhantes e usando a propriedade do logaritmo \ln T_{f}-\ln T_{i}=\ln\!\left(\dfrac{T_{f}}{T_{i}}\right), obtemos a forma mais compacta:
Q=\frac{A}{2}\bigl(T_{f}^{2}-T_{i}^{2}\bigr)-\frac{B}{3}\bigl(T_{f}^{3}-T_{i}^{3}\bigr)+C\ln\!\left(\dfrac{T_{f}}{T_{i}}\right).

Passo 6

Observações finais importantes e dicas para prova:
  • A expressão acima é válida desde que as temperaturas T_{i} e T_{f} sejam positivas, pois usamos \ln T. Em problemas físicos de temperatura absoluta (Kelvin) isso é normalmente satisfeito.
  • Em prova, escreva sempre claramente que Q=\int_{T_{i}}^{T_{f}}\mathrm{C}'(T)\mathrm{d}T, substitua a função, integre termo a termo e aplique os limites — esse é o roteiro rápido que os examinadores esperam.
  • Se quiser praticar: integre também funções parecidas, por exemplo \int (aT^{3}+bT^{-2})\mathrm{d}T para fixar as regras de potência e do logaritmo.

Resposta

Q=\frac{A}{2}\bigl(T_{f}^{2}-T_{i}^{2}\bigr)-\frac{B}{3}\bigl(T_{f}^{3}-T_{i}^{3}\bigr)+C\ln\!\left(\dfrac{T_{f}}{T_{i}}\right)

Exercícios relacionados